高等数学 简单题 有关导数极限性质？

Question

求详细解答过程 救救孩子吧

Answer 1

解：（1）左极限=0，
右极限=lim（x→0+)[√(x+1)-1]/√x(0/0形式，用洛必达法则：分子分母同时求导数）
=lim（x→0+) {1/[2√(x+1)]}/(1/√x)=lim（x→0+) √x/[2√(x+1)](代入极限值）=0；
左极限=右极限；函数在x=0处有定义，f(0)=0; 所以函数连续。
(2)左导数=0，
当x>0时，f'(x)={√x/[2√(x+1)]-[√(x+1)-1]/(2√x)}/x=[x-(x+1)+√(x+1)]/{2x√[x(x+1)]}
=[√(x+1)-1]/[2x√(x^2+x)];
右导数=lim（x→0+)f'(x)=lim（x→0+)[√(x+1)-1]/[2x√(x^2+x)]
=lim（x→0+){1/[2√(x+1)]/[2√(x^2+x)+x*(2x+1)/√(x^2+x)]
=lim（x→0+) 1/{4√[(x^2+x)(x+1)]+2x*(2x+1)}=+∞；
左导数≠右导数；导数不存在。
还有一种方法直接判别：
右导数=lim(x→0+)[f(x)-f(0)]/x=lim(x→0+){ [√(x+1)-1]/√x-0}/x
=lim(x→0+) [√(x+1)-1]/(x√x)(分子用麦克劳林公式展开)
=lim(x→0+) {[(1+x/2+(1/2)(1/2-1)x^2/2!+o(x^3)]-1}/√x^3
=lim(x→0+) [x/2-x^2/8+o(x^3)]/√x^3(略去高阶无穷小)=lim(x→0+) 1/(2√x)=+∞；
左导数≠右导数；导数不存在。后面这种方法一般人记不住麦克劳林公式，需要翻书才能作题。当然，后面的方法对求极限也适用，只不过保留两位多项式即可。

Answer 2