高中数学对称性与周期性关系的公式推导

Question

(1)若f(x)关于x=a,x=b对称，则T=2┃b-a┃
(2)若f(x)关于点M(a,0),N(b,0)对称，则T=2┃b-a┃
(3)若f(x)关于点M(a,0),x=b对称，则T=4┃b-a┃
(4)若f(x)关于点(a,b)对称，则f(x)+f(a-x)=2b
(5)若f(x)关于点(a,0)对称，则f(x)+f(2a-x)=0

Answer 1

主要还是要数字图形结合理解的基础上，再简单的证明一下。
第一个做图来看就一目了然，你可以这么理解：2-x和2+x,的中间位置就是2，然后又满足f（2-x)=f(x+2).也就是说以2为两边对称的函数值是相同的。
第二个同样的做一个图，在给定区间内，若两个函数g1（x)，g2（x)关于y轴对称，则g1(x)=g2(-x），反过来也是成立的，这个有点类似偶函数那里，但是还是不一样，想一下是不是这样。这个方程里g1(x)=f（2-x），g2(-x)=f(-x+2),所以有这个结论。
第三个，利用换元，令y=x-2,则原式变为f(y)=f(-y)的图像关于y轴对称，显然是这个意思，上题已经用了这个结论。
这三个都不能推导出周期性的性质，因为f(x)=f(x+k）这种式子才能满足
第一个说的是一个函数f（x），其中满足f（2-x）=f(2+x)，所以才会说有对称轴。而后面是两个函数比较图像。
函数基本性质周期性，单调性，奇偶性可以继续讨论，望采耐

Answer 2

画图可以直观的看出,
可以写出符合直观的证明.
f(x)关于x=a对称等价于f(x)=f(2a-x)
f(x)关于(a,b)对称等价于f(x)+f(2a-x)=2b
利用轴对称、中心对称的定义可得
(1)f(x+2b-2a)=f(2b-(x+2b-2a))=f(2a-x)=f(x)
(2)f(x+2b-2a)=-f(2a-x)=f(x)
(3)f(x+4b-4a)=f(-2b+4a-x)=-f(2b-2a+x)=-f(2a-x)=f(x)
(4)错了,应为f(x)+f(2a-x)=2b
(5)四的推论本回答被网友采纳

Answer 3

画图可帮助推导
一般是会用这些公式
考试不会让你推导