对称矩阵的正定性，半正定，负定性与该对称矩阵特征值的关系

Question

如题所述

Answer 1

对称矩阵的正定性，半正定，负定性与该对称矩阵特征值的关系是：
矩阵的正定当且仅当其特征值都大于0；
矩阵的半正定当且仅当其特征值都大于或等于0；
矩阵的负定当且仅当其特征值都小于0。追问

可以详细证明一下不？谢了

追答

对称矩阵A正定当且仅当存在正交矩阵Q，使得

QTAQ=diag(λ1,λ2,...,λn)
其中λ1,λ2,...,λn为A的全部特征值。
所以对称矩阵A正定当且仅当A的特征值λ1,λ2,...,λn都大于0.