探索确界之奥秘：定义与存在性揭示
当我们谈论实数集的性质时，一个核心概念便是确界原理。首先，让我们深入理解这个原理的基石——定义：
定义1： 若非空实数集E具备以下特性：对任何x∈E，存在M（L）使得x≤ M（或x≥ L），则称E为有上界（或下界）的集合，M（L）即为上界（下界）。若E同时具有上界和下界，它被称为有界集；反之，无界集则无此双重限制。
注1中的关键点为我们揭示了几个重要事实：（1）实数集有界的标志是存在一个正数M，使得所有元素小于或等于M；（2）有界集的上界（下界）并非唯一，而是可以有无限多个；（3）有限区间的数集和由有限元素组成的集合均是有界集，无限区间则是无界的。
自然而然地，我们对这些上界与下界提出了疑问：在这些无穷多个可能的上界中，是否存在一个最小的上确界，或者在下界中是否存在一个最大的下确界？答案就在下一个定义中：
定义2： 对于数集E，如果数η满足条件：x≤η且对于所有小于η的数，都不是E的上界，那么η称为E的上确界，记作...
同样的，下确界的定义稍作调整：定义1.1.3： 若ξ满足x≥ξ且大于ξ的数不能成为E的下界，ξ即为E的下确界，记作...
然而，这些确界并非总是与数集本身重合，它们可能是集合内的最大值（最小值），或者独立于集合之外。我们注意到，当E存在上（下）确界时，这个确界是唯一的。
现在，我们来到确界原理的核心部分，这个基础理论的基石定理：
定理1.1.1 (确界原理): 每一个非空且有上（下）界的实数集必然存在上（下）确界。
这个定理的重要性不言而喻，它为后续的极限理论提供了坚实的数学基础。在深入理解实数集的结构和性质时，确界原理如同一座桥梁，连接了数集的有界性与极限概念，引导我们探索数学世界的无穷深邃。