向量共线的充要条件

Question

如题所述

Answer 1

向量共线的充要条件：零向量与任何向量共线。

非零向量共线条件是b=λa，其中a≠0，λ是唯一实数。共线
向量也就是平行向量，方向相同或相反的非零向量叫平行向量，任意一组平行向量都可
移到同一直线上，所以称为共线向量。

一、平面向量共线的条件

1、方向相同或相反 

2、向量a=k向量b 

3、a=（x1，y1），b=（x2，y2）a//b等价于x1y2-x2y1=0。

二、共线向量基本定理

如果a≠0，那么向量b与a共线的充要条件是：存在唯一实数λ，使得b=λa。

证明：

1、充分性：对于向量 a（a≠0）、b，如果有一个实数λ，使 b=λa，那么由实数与向
量的积的定义知，向量a与b共线。

2、必要性：已知向量a与b共线，a≠0，且向量b的长度是向量a的长度的m倍，即
∣b∣=m∣a∣。那么当向量a与b同方向时，令 λ=m，有 b=λa，当向量a与b反方向
时，令 λ=-m，有 b=λa。如果b=0，那么λ=0。

3、唯一性：如果 b=λa=μa，那么（λ-μ）a=0。但因a≠0，所以λ=μ。