求问！概率论概率期望问题，抛一枚均匀硬币，直到正、反两面都出现后

Question

如题所述

Answer 1

设Xk表示实验k次出现正反两面，设正面的概率为p

P(Xk) = (1-p)^(k-1)*p + p^(k-1)*(1-p) ( (1-p)^(k-1)*p 代表前k-1次是反面，最后一次是正面

P(Xk) = p^(k-1) = 1/(2^(k-1))

由期望的计算方法：

E(Xk) = ∑k * P(Xk) (k从2到正无穷)

最后通过证明级数收敛，可以进行积分

这里进行一个级数的转化，将p用x取代，换成函数项级数

∫E(Xk) = ∫∑k * P(Xk) = ∑∫k * P(Xk) = ∑∫k * x^(k-1) = ∑x^k

用等比数列求和公式

∫E(Xk) = ∑p^k = x^2/1-x

求导回去：

E(Xk) = 2x/1-x + x^2/(1-x)^2

代入x = 1/2

解得 E(Xk) = 3

扩展资料：

设随机事件A在n次重复试验中发生的次数为nA，若当试验次数n很大时，频率nA/n稳定地在某一数值p的附近摆动，且随着试验次数n的增加，其摆动的幅度越来越小，则称数p为随机事件A的概率，记为P(A)=p。 

随机事件是事件空间S的子集，它由事件空间S中的单位元素构成，用大写字母A，B，C...表示。例如在掷两个骰子的随机试验中，设随机事件A="获得的点数和大于10"，则A可以由下面3个单位事件组成：A={(5，6)，(6，5)，(6，6)}。

参考资料来源：百度百科-概率论