容易证明,该广义积分收敛,那么就可以用无穷级数展开
ln(1-x)=-x-x^2/2-x^3/3-x^4/4-……
ln(1-x)/x=-1-x/2-x^2/3-x^3/4-……=-∑[n从0到∞] x^n/(n+1)
∫[0->1] -∑[n从0到∞] x^n/(n+1)=-∑[n从0到∞]x^(n+1)/(n+1)² | [0->1]
=-∑[n从0到∞] 1/(n+1)²
=-(1+1/2²+1/3²+1/4²+……)=-π²/6
而且这是spence function,原式=-Li2(1)=-π²/6
ln(1-x)=-x-x^2/2-x^3/3-x^4/4-……
ln(1-x)/x=-1-x/2-x^2/3-x^3/4-……=-∑[n从0到∞] x^n/(n+1)
∫[0->1] -∑[n从0到∞] x^n/(n+1)=-∑[n从0到∞]x^(n+1)/(n+1)² | [0->1]
=-∑[n从0到∞] 1/(n+1)²
=-(1+1/2²+1/3²+1/4²+……)=-π²/6
而且这是spence function,原式=-Li2(1)=-π²/6
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