如何巧记弹性碰撞后的速度公式

Question

如题所述

Answer 1

由于弹性碰撞后的速度公式不好推导，该公式又比较繁杂不好记。因此导致这类考题的得分率一直较低。下面探讨一下该公式的巧记方法。
一、“一动碰一静”的弹性碰撞公式
问题：如图1所示，在光滑水平面上，质量为m1的小球，以速度v1与原来静止的质量为m2的小球发生对心弹性碰撞，试求碰撞后它们各自的速度？

图1
设碰撞后它们的速度分别为v1＇和v2＇，在弹性碰撞过程中，分别根据动量守恒定律、机械能（动能）守恒定律得：
m1v1=m1v1＇+m2v2＇①
②
由① ③
由② ④
由④/③ ⑤
联立①⑤解得
⑥
⑦
上面⑥⑦式的右边只有分子不同，但记忆起来容易混。为此可做如下分析：当两球碰撞至球心相距最近时，两球达到瞬时的共同速度v共，由动量守恒定律得：
m1v1= （m1+m2） v共
解出v共=m1v1 /（m1+m2）。而两球从球心相距最近到分开过程中，球m2继续受到向前的弹力作用，因此速度会更大，根据对称可猜想其速度恰好增大一倍即，而这恰好是⑦式，因此⑦式就可上述推理轻松记住，⑥式也就不难写出了。如果⑥式的分子容易写成m2－m1，则可根据质量m1的乒乓球以速度v1去碰原来静止的铅球m2，碰撞后乒乓球被反弹回，因此v1＇应当是负的（v1＇<0），故分子写成m1－m2才行。在“验证动量守恒定律”的实验中，要求入射球的质量m1大于被碰球的质量m2，也可由⑥式解释。因为只有m1>m2，才有v1＇>0。否则，若v1＇<0，即入射球m1返回，由于摩擦，入射球m1再回来时速度已经变小了，不再是原来的v1＇了。
另外，若将上面的⑤式变形可得：，即碰撞前两球相互靠近的相对速度v1－0等于碰撞后两球相互分开的相对速度。由此可轻松记住⑤式。再结合①式也可很容易解得⑥⑦式。
二、“一动碰一动”的弹性碰撞公式
问题：如图2所示，在光滑水平面上，质量为m1、m2的两球发生对心弹性碰撞，碰撞前速度分别为v1和v2，求两球碰撞后各自的速度？

图2
设碰撞后速度变为v1＇和v2＇，在弹性碰撞过程中，分别根据动量守恒定律、机械能守恒定律得：
m1v1+m2v2=m1v1＇+m2v2＇①
②
由① ③
由② ④
由④/③ ⑤
由③⑤式可以解出
⑥
⑦
要记住上面⑥⑦式更是不容易的，而且推导也很费时间。如果采用下面等效的方法则可轻松记住。m1、m2两球以速度v1和v2发生的对心弹性碰撞，可等效成m1以速度v1去碰静止的m2球，再同时加上m2球以速度碰静止的m1球。因此由前面“一动碰一静”的弹性碰撞公式，可得两球碰撞后各自的速度+；+，即可得到上面的⑥⑦式。
另外，若将上面的⑤式变形可得：，即碰撞前两球相互靠近的相对速度v1- v2等于碰撞后两球相互分开的相对速度。由此可轻松记住⑤式，再结合①式可解得⑥⑦式。
例题：如图3所示，有大小两个钢球，下面一个的质量为m2，上面一个的质量为m1，m2=3m1。它们由地平面上高h处下落。假定大球在和小球碰撞之前，先和地面碰撞反弹再与正下落的小球碰撞，而且所有的碰撞均是弹性的，这两个球的球心始终在一条竖直线上，则碰后上面m1球将上升的最大高度是多少？

图3
解法1：
设两球下落h后的速度大小为v1，则
v12=2gh ①
选向上为正方向，m2球与地面碰撞后以速度v1反弹并与正在以速度－v1下落的m1球发生弹性碰撞，设m1和m2两球碰撞后瞬间的速度分别变为v1＇和v2＇，在弹性碰撞过程中，分别根据动量守恒定律、机械能（动能）守恒定律得：
m1（－v1）+m2v1=m1v1＇+m2v2＇②
③
将m2=3m1代入，得
2v1=v1＇+3v2＇④
⑤
由④⑤式消去v2＇得:

即
故解出v1＇=v1（舍去，因为该解就是m1球碰前瞬间的速度）
v1＇=2v1 ⑥
设碰后上面球m1上升的最大高度为h＇，则
0－v1＇2=－2gh＇⑦
联立①⑥⑦式解出h＇=4h。
解法2：
在解法1中，列出②③式后，可根据前面介绍的用等效法得到的“一动碰一动”的弹性碰撞公式，求出m1球碰撞后瞬间的速度v1＇。
选向上为正方向，m1、m2两球分别以速度－v1和v1发生对心弹性碰撞，可等效成m1以速度－v1去碰静止的m2球，再同时加上m2球以速度v1碰静止的m1球。因此m1球碰撞后的速度+
将m2=3m1代入得v1＇=2v1。
以下同解法1。
解法3：
在解法1中，列出②③式后，也可根据前面介绍的用等效法得到的“一动碰一动”的弹性碰撞公式，求出m2球碰撞后瞬间的速度v2＇。
选向上为正方向，m1、m2两球以速度－v1和v1发生的对心弹性碰撞，可等效成m1以速度－v1去碰静止的m2球，再同时加上m2球以速度v1碰静止的m1球。因此碰撞后m2球的速度
+
将m2=3m1代入解得v2＇=0。
从m1球开始下落到m1球上升的最大高度，对m1、m2两球组成的系统，由能量守恒得：
（m1+m2）gh= m1gh＇
故解出h＇=4h。
解法4：
设两球下落h后的速度大小为v1，则
v12=2gh ①
选向上为正方向，m2球与地面碰撞后以速度v1反弹并与正在以速度－v1下落的m1球发生弹性碰撞，若以m2球为参考系，则m1球以相对m2球为－2v1的速度去碰静止的m2球，由“一动碰一静”的弹性碰撞公式得：

由于碰前m2球对地的具有向上的速度v1，
故碰后m1球对地的速度为：+ v1=2v1。
以下同解法1。
上面的解法1属于常规的数学解法，求解比较麻烦，用时间也比较长而且容易出错。而解法2、3、4直接应用巧记得到的弹性碰撞速度公式求解，简单而不易出错，是比较好的选择。