请问设k是数域f上n阶矩阵全体构成的矩阵环.证明矩阵的相似关系是一个等价关系

Question

如题所述

Answer 1

按等价关系的定义一一验证即可：
（1）反身性（即A～A）：对任意的矩阵A，有E^（-1）AE=A
（2）对称性（即若A～B，则B～A）：若矩阵A相似于B，即存在可逆矩阵P使得B=P^（-1）AP，则A=PBP^（-1），即B相似于A
（3）传递性（即若A～B，B～C，则A～C）：若A相似于B、B相似于C，即存在可逆矩阵P、Q使得P^（-1）AP=B、Q^（-1）BQ=C，则（PQ）^（-1）A（PQ）=C，即A相似于C