求曲线围成图形绕x轴与Y轴的旋转体体积

Question

求曲线y=x^2/3(x的三分之二次幂)与y=x围成的图形分别绕X和Y轴旋转一周的旋转体体积(请注明解题过程）

Answer 1

图我这里就不画了 曲线y=x^2/3是一个以原点为顶点 y为对称轴 x>0时 单调递增 开口向下的二条抛物线
与y=x交点为(1,1)

绕y轴旋转体积：
y=x绕y轴体积(这是个圆锥体) 减去 y=x^2/3即x=y^3/2绕y轴旋转体积
符号不好打 下面用∫(0,1) 表示从0积到1

V1=1/3πr^2*h-∫(0,1)πr^2dy
=π/3-∫(0,1)πy^3dy
=π/3-πy^4/4(0,1)
=π/3-π/4
=π/12

绕x轴：
y=x^2/3即x=y^3/2绕x轴旋转体积 减去 y=x绕y轴体积（刚求出来是π/3）

V2=∫(0,1)πR^2dx-π/3
=∫(0,1)πx^4/3dx-π/3
=(3πx^7/3)/3(0,1)-π/3
=π-π/3
=2π/3

Answer 2

令x^(2/3)=x得,x=0,或x=1,所以我想你是要算x∈[0,1]内的图形转出的体积.
先积分算面积S:
S=∫[0,1](x^(2/3) - x) dx=1/10
再求质心(或者理解成重心)坐标(M,N):
∫[0,1](x^(2/3) - x) x dx=1/24
求反函数,用y表示x,得x=y,x=y^(3/2)
∫[0,1](y - y^(3/2)) y dy=1/21
M=1/24/(1/10)=5/12
N=1/21/(1/10)=10/21
根据古鲁金定理,
绕x轴的体积为2π*N*S= (2 π)/21
绕y轴的体积为2π*M*S= π/12