变限积分求导法!例题

Question

求 d/dx∫下限为0，上限为x （x-t）f'(t)dt 解：原式=d/dx(x∫下限为0，上限为x)f'(t)dt-∫下限为0，上限为x ,tf'(t)dt) =∫下限为0,上限为x f'(t)dt+xf'(x)-xf'(x) 这步是算的，怎么加个又减个，那个怎么来的，原理是什么？ =∫下限为0,上限为x,f'(t)dt =f(x)-f(0) f'这个表示f撇，求导上有，学过的人应该知道！ 详细的说下每步怎么算不了，依据什么？讲清楚！

Answer 1

d/dx
∫(0→x)
(x-t)f'(t)
dt
=
d/dx
∫(0→x)
[xf'(t)
-
tf'(t)]
=
d/dx
{∫(0→x)
xf'(t)
dt
-
∫(0→x)
tf'(t)
dt}
=
d/dx
x∫(0→x)
f'(t)
dt
-
d/dx
∫(0→x)
tf'(t)
dt
第一积分的值很好算，有：
∫(0→x)
f'(t)
dt
=
f(x)
-
f(0)
而假设第二个积分中，被积函数的原函数是g(t)，即：
g'(t)
=
t
f'(t)
则：
∫(0→x)
tf'(t)
dt
=
g(x)
-
g(0)
所以原式为：
d/dx
[xf(x)
-
xf(0)]
-
d/dx
[g(x)-g(0)]
对x微分，不含x的部分作常数处理，得：
xf'(x)
+
f(x)
-
f(0)
-
g'(x)
又由函数g的定义，得到：
=
xf'(x)
+
f(x)
-
f(0)
-
x
f'(x)
=
f(x)
-
f(0)
其实你给的过程也就是大致按照这种方法，只不过它很早就做了微分，而且比较抽象，所以看起来晕罢了。我则是先整理了式子，然后才做的微分，你可以看到，我的做法跟答案一样，也是约掉了xf'(x)的，所以本质上是一样的。而也许我这样做你会比较好理解。
另外我引入到了函数g(t)，但是不必怀疑它是否连续可导，因为有函数tf'(t)存在。至于规范过程的话，还是按照你的过程，写个很抽象的东西就好了，不必引入新东西，然后再去讨论他连续可导。
还不明白的话欢迎补充提问。^_^