行列式计算题

Question

如图，我清楚的记得老师讲了，但是我忘了(｡í _ ì｡)

Answer 1

二楼的思路对了，不过计算上有点小问题。我习惯用行变换，所以过程如下：

从最后一行开始，每行减去上一行，得到：
1 2 3 ... n-1 n
1 1 1 ... 1 1-n
... ... ... ...
1 1-n 1 ... 1 1
然后做列变换，从各列中减去第一列，得到：
1 1 2 ... n-2 n-1
1 0 0 ... 0 -n
... ... ... ...
1 -n 0 ... 0 0
再把各列乘以(1/n)，加回到第一列，得到：
(n+1)/2 1 2 ... n-2 n-1
0 0 0 ... 0 -n
... ... ... ...
0 -n 0 ... 0 0
最后沿第一列展开得到结果是(1/2)*(n+1)*n^{n-1}*(-1)^{(n-1)(n-2)/2}