正定矩阵在相合变换下可化为规范型, 即单位矩阵。所有特征值大于零的对称矩阵(或厄米特矩阵)是正定矩阵,其等价条件是:
1、AA是半正定的;
2、AA的所有主子式均为非负的';
3、AA的特征值均为非负的;
4、存在n阶实矩阵C,使A=C'CC,使A=C′C;
5、存在秩为r的r×n实矩阵BB,使A=B'BA=B′B。
正定矩阵有以下性质:
1、正定矩阵的行列式恒为正;
2、实对称矩阵A正定当且仅当A与单位矩阵合同;
3、若A是正定矩阵,则A的逆矩阵也是正定矩阵;
4、两个正定矩阵的和是正定矩阵;
5、正实数与正定矩阵的乘积是正定矩阵。