如何判断矩阵是否为正定矩阵

Question

如题所述

Answer 1

如果A和B都是实对称正定阵，且AB=BA=B^TA^T=(AB)^T

这说明AB是对称阵

再利用AB的特征值都是正数（因为AB相似于对称正定阵A^{1/2}BA^{1/2}）得到AB对称正定。

例如：

^证明：因为A,B正定，所以 A^T=A,B^T=B

(必要性) 因为AB正定，所以 (AB)^T=AB

所以 BA=B^TA^T=(AB)^T=AB

(充分性) 因为 AB=BA

所以 (AB)^T=B^TA^T=BA=AB

所以 AB 是对称矩阵

由A,B正定, 存在可逆矩阵P,Q使 A=P^TP,B=Q^TQ.

故 AB = P^TPQ^TQ

而 QABQ^-1=QP^TPQ^T = (PQ)^T(PQ) 正定, 且与AB相似

故 AB 正定

扩展资料：

（1）广义定义：设M是n阶方阵，如果对任何非零向量z，都有zTMz> 0，其中zT 表示z的转置，就称M为正定矩阵。

例如：B为n阶矩阵，E为单位矩阵，a为正实数。在a充分大时，aE+B为正定矩阵。（B必须为对称阵）

（2）狭义定义：一个n阶的实对称矩阵M是正定的的条件是当且仅当对于所有的非零实系数向量z，都有zTMz> 0。其中zT表示z的转置。

参考资料来源：百度百科-正定矩阵

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