求这题逆矩阵的秩

Question

如题所述

Answer 1

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这道题不需要求出A的逆矩阵，再求逆矩阵的秩序。如果A可逆可以直接求出逆矩阵的秩。

方阵A的行列式det(A) = -3 ≠ 0，因此A可逆，记A的逆矩阵A^(-1)，
再根据 A A^(-1) = E ,两边取行列式 |A| |A^(-1)| = |E| = 1
因此，A的逆矩阵A^(-1)的行列式|A^(-1)|=1/|A|≠0，A^(-1)满秩，
A是3阶方阵，因此A^(-1)也是3阶方阵，A^(-1)的秩 rank（A^(-1)） = rank（A） = 3.

其实也不需要这么麻烦。
根据逆矩阵的定义可知，A与A^(-1)互为逆矩阵，因此A可逆，A^(-1)必然可逆，
因此A^(-1)满秩，rank（A^(-1)） = rank（A） = A的阶数.对本题rank（A^(-1)）=3.