（0）引子。
1 = 3^2mod(8),
但，
3 = 3mod(8)不等于1mod(8),也不等于 -1mod(8).
因此，由 a^2 = 1mod(b),并不能推得 a = 1mod(b)或者a= -1mod(b).
...
（1）d6,d7必没有相同的质因子。
否则，设该质因子 为p,
则，显然p是n的质因子。
但 n = (d6)^2 + (d7)^2 -1,
0 mod(p) = n mod(p) = [0 + 0 - 1] mod(p) = -1 mod(p).矛盾。
因此，d6,d7必没有相同的质因子。
（2) n = m(d6)(d7).其中，m为正整数。
因，d7为n的 约数，因此，有 n = k(d7). k为正整数。
但，d6也为n的约数，所以，k(d7) = 0 mod(d6).
而由（1），d6,d7必没有相同的质因子。
因此，只有，k = 0mod(d6),
故存在1个正整数m，使得，k = m(d6)。
所以，n = k(d7) = m(d6)(d7).
(3)m >= 2.
记，d6 = a, d7 = x, x,a均为大于5的正整数。
则，
a^2 + x^2 - 1 = amx,
x^2 - amx + a^2 - 1 = 0
必须有关于x的正整数解存在。
Delta = a^2m^2 - 4[a^2 - 1]
= 4 + a^2[m^2 - 4]
= 4 + a^2(m-2)(m+2)
若m = 1,
Delta = 4 - 3a^2 < 4 - 3*5^2 = - 71 < 0,不符题意。
因此，m>=2.
(4）记z为 (mx) 的最小的质因子，则z = m。
m >= 2. d6 = a, d7 = x. a < x.
n = max.
因 za也是n 的约数。要保证a,x是 n的连续的2个约数。
只有，
a < x < za. 2 <= z <= m.
设 f(t) = t^2 - amt + a^2 - 1.
则，
f(x) = 0.
而
f(0) = a^2 - 1 > 0.
f(a) = a^ - ma^2 + a^2 - 1 = (2-m)a^2 - 1 < 0.
因此，
f(t)在(0,a)之间有一个零点。
则f(t)的另一个大于a的零点x,一定在开区间(a,za)上。
因此，
f(za) = (za)^2 - mza^2 + a^2 - 1
= a^2[z^2 - mz + 1] - 1
= a^2[z(z-m) + 1] - 1
必须要大于零。
也就是，
z(z-m) + 1 >= 1
z(z-m) >= 0.
但，2 <= z <= m, z - m <= 0.
所以，只能，z = m
(5) n = max, (m-1)a < x < ma.
接（4），
f[(m-1)a] = [(m-1)a]^2 - ma^2(m-1) + a^2 - 1
= a^2[m^2 - 2m + 1 - m^2 + m + 1] - 1
= a^2[2-m] - 1
< 0.
f[ma] = [ma]^2 - ma^2 + a^2 - 1
= a^2[m^2 - m + 1] - 1
= a^2[(m-1/2)^2 + 3/4] - 1
> 0.
(m-1)a < x < ma.
(6)若m,a,x互质，则无解。
(6-1)a,x都是质数。
则 1 < m < a < x.
a是n的第3个约数，矛盾。 无解。
因此，若m,a,x互质，则a,x中至少有1个是合数。
（6-2）a,x中至少有1个数有2个或者2个以上的质因子。
设 a(或者x) = g*h*t. g < h 是质数，t是正整数。
则，
1,m,g,h,mg,mh,gh是小于或者等于x的n的7个约数。
因a,x互质，这7个约数中的后2个不可能是a和x.
无解。
因此，若m,a,x互质，则a,x都只能有1个质因子。
(6-3)a,x都只有1个质因子。
设 a(或者x) = g^k. m < g. g是质数。
若 k >= 3. 则，
1,m,g,mg,g^2,mg^2,g^3是n的小于或者等于x的7个约数。
因a,x互质。a,x不可能是第6和第7个约数。
因此，若a,x都只有1个质因子。
则 1<= k <= 2.
设a = g^2,
1,m,g,mg,g^2是n的小于或者等于x的5个约数，要使 g^2不是第5个约数。
x必须有因子小于g^2.
由（6-2）只需讨论，x = h^2。
此时，m < g < h.
1,m,g,h,mg,mh,g^2,h^2.
a,x是n的第7，第8个约数。矛盾。
同理，当x = g^2时，也无解。
若 质数g,h，是a,x的质因子。
a = g^k, x = h^s.
则，只能，k = s = 1.
但这又等同于（6-1）。
因此，
当a,x都只有1个质因子时，无解。
综合（6-1）~（6-3）知，
当m,a,y互质时，无解。
这样，若有解，则a,x中必须有（且只能有）1个数，是m的倍数。
（7）a = m^kg. k>=2, g是大于m的正整数。则无解。
若n = m^(k+1)gx, a = m^kg. k >= 2.
因1，m, g, m^2, mg, m^3, m^2g 是n的小于或者等于x的7个约数。
由a,x互质，矛盾。
（8）x = m^kg. k>=2, g是大于m的正整数。则无解。
若n = m^(k+1)gx, x = m^kg. k >= 2.
因1，m, g, m^2, mg, m^3, m^2g 是n的小于或者等于x的7个约数。
由a,x互质，矛盾。
若a,x中是m的倍数的那个数还至少有1个大于m的质因子的话。那个数关于m的幂次只能为1。
（9）a = mg. g是大于m的正整数。则无解。
若 n = m^2gx, a = mg.
因1，m,g,m^2,mg是n的小于或者等于x的5个约数。
要使得 mg是第6个约数，x必须有小于mg的因子。
设 x = ht. h < mg, m < h <= t,
则1，m, g, m^2, h, mg, mh 是n的小于x的7个约数,矛盾。
（10）x = mg. g是大于m的正整数。则无解。
若n = m^2ga, x = mg.
因1，m, g, m^2, a, mg是n的小于或者等于x的6个约数。
要使得 mg是第7个约数，a必须有小于mg的因子。
设 a = ht. h < mg, m < h <= t.
m^2 < mh < ht = a < y = mg.
则 1，m, g, m^2, h, mh,ht是n的小于x的7个约数。矛盾。
这样，a,x中是m的倍数的那个数只能是m的幂。
（11）a（或者x） = m^k, k>= 6. 无解.
若 n = m^(k+1)g. g >m, g 为整数。
1,m,m^2,m^3,m^4,m^5,m^6是n的小于或者等于x的7个约数。
但a,x互质,矛盾。
（12）a = m^4,无解。
若，n = m^5x ，a = m^4.
1,m,m^2,m^3,m^4是n的小于或者等于x的5个约数。
要使得a = m^4是n的第6个约数。
x必须有小于m^4的因子。
设 x = ht. h < m^4, m < h <= t.
mh < ht
则1，m, m^2, m^3, h, mh, m^4是n的小于x的7个约数,矛盾。
(13) x = m^4,无解。
若n = m^5a， x = m^4.
1,m, m^2, m^3, m^4是n的小于或者等于x的5个约数。
要使得x = m^4是n的第7个约数。
a必须有小于m^4的因子。
设 a = ht. h < m^4, m < h <= t.
mh < ht = a < x
则1，m,m^2,m^3,h,mh,ht是n的小于x的7个约数,矛盾。
(14)a = m^2,无解。
若n = m^3x, a = m^2.
1,m,m^2,是n的小于或者等于x的3个约数。
要使得a = m^2是n的第6个约数。
x必须有小于m^2的因子。
设 y = ht. h < m^2, m < h <= t.
m^2 < mh < ht
因此，m^2 和 ht不可能是相连的约数。矛盾。
（15）x = m^2,无解。
若n = m^3a，x = m^2.
1,m,m^2,是n的小于或者等于y的3个约数。
要使得y = m^2是n的第7个约数。
a必须有小于m^2的因子。
设 a = ht. h < m^2, m < h <= t.
m^2 < mh < ht
因此，m^2 和 ht不可能是相连的约数。矛盾。
(16) a或者x = m. 无解。
m只能是n的第2个约数。矛盾。
这样，若有解，a,x中m的幂次只能是3或者5。
（17）a = m^5.无解。
若n = m^6x， a = m^5.
1,m,m^2,m^3,m^4,m^5是n的小于或者等于x的6个约数。
因此，x不能有小于m^5的因子。
所以，若x为合数，则 x > (m^5)^2 = m^(10).
但由（5）, x < ma = m^6.矛盾。
因此，x只能为质数。
此时， 由（5）,
m^5 <= (m-1)m^5 < x < m^6.
设 x = km + r. 0 < r < m. m^4 <= k < m^5.
x^2 + a^2 - amx - 1 = (mk+r)^2 + m^(10) - m^6(mk+r) - 1
= mk(mk+2r) + r^2 + m^(10) - m^6(mk+r) - 1
= 0,
因此，r^2 = 1 (mod m),
因m为质数，故有 r = 1 或者 r = m-1.
若r = 1. x = mk + 1. m^4 <= k < m^5.
x^2 + a^2 - amx - 1 = (mk+1)^2 + m^(10) - m^6(mk+1) - 1
= mk(mk+2) + 1 + m^(10) - m^6(mk+1) - 1
= mk(mk+2) + m^(10) - m^6(mk+1)
= 0.
mk^2 + 2k + m^9 - m^5(mk+1) = 0.
只有， k = mk1, m^4 <= k < m^5, m^3 <= k1 < m^4.
m^3(k1)^2 + 2mk1 + m^9 - m^5(m^2k1+1) = 0.
m^2(k1)^2 + 2k1 + m^8 - m^4(m^2k1+1) = 0.
只有，k1 = m^2k2, m^3 <= k1 <= m^4, m <= k2 <= m^2.
m^6(k2)^2 + 2m^2k2 + m^8 - m^4(m^4k2+1) = 0.
m^4(k2)^2 + 2k2 + m^6 - m^2(m^4k2 + 1) = 0.
只有，k2 = m^2k3, 但m <= k2 < m^2. 矛盾。
因此，只有 r = m - 1.
x = mk + m-1. m^4 <= k < m^5.
x^2 + a^2 - amx - 1 = (mk+m-1)^2 + m^(10) - m^6(mk+m-1) - 1
= m(k+1)[m(k+1) - 2] + 1 + m^(10) - m^6[m(k+1)-1] - 1
= m(k+1)[m(k+1) - 2] + m^(10) - m^6[m(k+1)-1]
= m^2(k+1)^2 - 2m(k+1) + m^(10) - m^6[m(k+1) -1]
= 0.
m(k+1)^2 - 2(k+1) + m^9 - m^5[m(k+1) -1] = 0.
(k+1) = mk1, m^4 + 1 <= k + 1 < m^5 + 1. m^3 < k1 <= m^4.
m^3(k1)^2 - 2mk1 + m^9 - m^5[m^2k1 - 1] = 0.
m^2(k1)^2 - 2k1 + m^8 - m^4[m^2k1 - 1] = 0.
k1 = m^2k2, m^3 < k1 <= m^4. m < k2 <= m^2.
m^6(k2)^2 - 2m^2k2 + m^8 - m^4[m^4k2 - 1] = 0.
m^4(k2)^2 - 2k2 + m^6 - m^2[m^4k2 - 1] = 0.
k2 = m^2k3, m < k2 <= m^2. k3 = 1.
k2 = m^2.
m^8 - 2m^2 + m^6 - m^2[m^6 - 1] = 0.
m^6 - 2 + m^4 - m^6 + 1 = 0.
m^4 - 1 = (m^2 + 1)(m^2 - 1) = 0.矛盾。
因此，a = m^5.无解。
（18）x = m^5. 只有 m = 2, a = 2^5 – 1 = 31, x = 2^5 = 32, n = 2^6*31 = 1984.
若n = m^6a， x = m^5.
1,m,m^2,m^3,m^4,a,m^5是n的小于或者等于x的7个约数。
因此，a只能为质数。
此时， 由（5）,
a <= (m-1)a < m^5 < ma.
设 x = m^5 = (m-1)a + r. 0 < r < a.
x^2 + a^2 - amx - 1 = [(m-1)a+r]^2 + a^2 - amx - 1
= [(m-1)a]^2 + 2r(m-1)a + r^2 + a^2 - amx - 1
= 0,
因此，r^2 = 1 (mod a),
因a为质数，故有 r = 1 或者 r = a-1.
若r = 1. x = (m-1)a + 1.
x^2 + a^2 - amx - 1 = [(m-1)a+1]^2 + a^2 - max - 1
= (m-1)^2a^2 + 2a(m-1) + a^2 - max
= 0.
a(m-1)^2 + 2(m-1) + a – m[(m-1)a+1] = 0.
[m^2 – 2m + 1]a – [m^2 – m ]a – m + a + 2m – 2 = 0,
2a – ma + m-2 = 0,
(2-m)a + (m-2) = 0,
(m-2)(1-a) = 0.
m=2.
此时，2^m = x = (m-1)a + 1,
x = 2^5, 2^5 = a +1, a = 2^5 – 1 = 31.
n = max = 2^6*31 = 1984.
若r = a-1. x = (m-1)a + a-1 = ma-1.
x^2 + a^2 - amx - 1 = (ma-1)^2 + a^2 - max - 1
= m^2a^2 - 2am + a^2 - max
= 0.
am^2 + 2m + a – m(ma-1) = 0.
am^2 + 2m + a – am^2 + m = 0,
3m + a = 0. 矛盾。
（19）x = m^3. 无解。
n = m^4a. a <= (m-1)a < m^3 < ma.
1，m, m^2,a,m^3是n的小于或者等于x的5个约数。
要使得m^3是n的第7个约数。
a必须有小于m^3的质因子。
a = ht, m < h < m^3. h <= t.
m^2 < mh < ht= a < x
1,m,m^2,h,mh,ht,m^3是n的小于x的7个约数。
这样，若 h < t,
因 m < t < ht = a < x.则 t也是n的小于x的约数，矛盾。
因此，只能 t = h. a = h^2.
此时，1,m,m^2,h,mh,h^2,m^3是n的小于x的7个约数。
a = h^2, x = m^3, n = m^4h^2. m < h
h^2 < m^3/(m-1) = (m^3 – 1+1)/(m-1) = m^2 +m + 1 + 1/(m-1) <= m^2 + 2m + 1 = (m+1)^2.
h < m+1
但h > m, 矛盾。
因此，x = m^3. 无解。
（20）a = m^3, 则 m = 2, a = 2^3 = 8, x = 3^2, n = m^4x = 144.
a = m^3, n = m^4x.
1,m,m^2,m^3是n的小于x的4个约数。
要使得m^3是n的第6个约数，x必须有小于m^3的质因子。
设x = ht, m< h < m^3, h <= t.
m^3 <= (m-1)m^3 < ht < m^4.
m<h, ht < m^4, t < m^4/h <m^4/m = m^3.
所以，若t>h.
则，t < m^3。
1， m,m^2, h,t,mh,mt，m^3是n的小于x的7个约数.矛盾。
因此，只能 h=t.
此时，
1,m,m^2,h,mh,m^3是n的小于x的6个约数。
a =m^3, x = h^2, m^3 <= (m-1)m^3 < h^2 < m^4.
m < h < m^2.
h ＝km ＋r． 0 ＜r ＜m． 1<=k <m.
(km+r)^4 + m^6 – m^4(km+r)^2 – 1 = (km)^4 + 4r(km)^3 + 6(km)^2r^2 + 4(km)r^3 + r^4 + m^6 – m^4(km+r)^2 – 1 = 0.
r^4 = 1 (mod m).
因m为质数，因此，r = 1或者r = m-1.
若 r = 1.
h = km + 1. 1 <= k < m.
(km+1)^4 + m^6 – m^4(km+1)^2 – 1 = (km)^4 + 4(km)^3 + 6(km)^2 + 4km + m^6 – m^4(km+1)^2 = 0,
k^4m^3 + 4k^3m^2 + 6k^2m + 4k + m^5 – m^3(km+1)^2 = 0.
k = 0 (mod m)
但，1 <= k < m.矛盾。
因此，只有r = m-1.
此时，h = km+m-1 = m(k+1) -1. 1 <= k < m.
[m(k+1) -1]^4 + m^6 – m^4[m(k+1)-1]^2 – 1 = [m(k+1)]^4 – 4[m(k+1)]^3 + 6[m(k+1)]^2 – 4m(k+1) + m^6 – m^4[m(k+1)-1]^2 = 0,
(k+1)^4m^3 – 4(k+1)^3m^2 + 6(k+1)^2m + 4(k+1) + m^5 – m^3[m(k+1)-1]^2 = 0.
只能，K = m-1.
此时，h = m(k+1) -1=m^2 -1.
[m^2 - 1]^4 + m^6 –m^4[m^2-1]^2 – 1 =
[m^2 – 1]^4 - m^4[m^2-1]^2 + [m^2-1][m^4 + m^2 +1]
= 0,
[m^2-1]^3 – m^4[m^2-1]+ m^4 + m^2 + 1
= m^6 – 3m^4 + 3m^2 – m^6 + m^4 + m^4 + m^2
= -m^4 + 4m^2 = 0,
4 – m^2 = 0,
m = 2. a = 2^3,
h = 2^2 – 1, x = h^2 = 3^2.
n = m^4x = 144.
(21)综合
1，d6,d7互质。
2，n = m(d6)(d7).
3, 若z是md7的最小的质因子，则z = m.
4, d6,d7中必有m的倍数。
5，d6,d7中m的倍数只能是m的幂
6，只有d7 = m^5或者d6 = m^3时，才可能有解。
7，d7 = m^5时，只有m=2, d7 = 2^5 = 32, d6 = 2^5 – 1 = 31,n = 1984.
8, d6 =m^3时，只有m=2, d6 = 2^3 = 8, d7 = (2^2-1)^2 = 3^2 =9, n = 144.
9.只有上面2组解。〔完毕〕
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