高中数学奥赛题

Question

由三个数字1 、2 、3 组成的5位数中, 1 、2 、3 都至少出现1 次, 这样 的 5 位数共有-------个
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Answer 1

分情况讨论。
1. 五位数中，1，2，3三个数字其中一个出现3次，其余两个数字各出现1次。即AAABC这种模式。从5个数位里取两个对BC做排列，剩余的填A。A有3种可能。共有3*P(2,5)=60个。
2.五位数中,1,2,3三个数字其中两个出现2次，剩余一个数字出现1次。即AABBC这种模式。从5个数位里取1个填C，剩余四个数位对AABB做排列。C有3种可能。共有
3*5*C(2,4)=90个。
所以这样的五位数共有150个。

Answer 2

还可以这样：等于123组成的所有5位数个数-以12,13,23组成5位数个数+减多了的3个
即 3的5次方-3乘2的5次方+3=243-32乘3+3=150