数的发展 对于数发展史的缩写几乎是亵渎神圣的！自然数、整数、有理数、无理数、虚数、实数、复数，等等，是在何时、何地又是怎样演化的？ 像大多的数学概念那样，它们的演进或由于偶然，或由于需要，或由于稀奇，或由于探索的需求，而游刃于某个思维领域. 很难想象，当试图解各种问题时该不该把它们限制在一个数的特殊 *** 里.我们承认许多问题是局限在某个特定的范围或区域，这就使得它伴随着特定的 *** .但至少我们还应该知道解答中其他类型数的存在，而这样的问题正好成为一种练习. 虽然现在我们手上已经有了全部的复数，但我们不妨想象处理这样一个问题，即求方程x+7=5中的x值，但不知道负数.这时会有什么反应呢？ ——这个问题有缺陷！ ——没有解答！ ——该方程是不正确的！（①原注： *** 的教科书把负数介绍到欧洲.但16和17两个世纪里，欧洲的数学家不愿意接受这些数.N·楚亏特（15世纪）和M·斯提德尔（16世纪）将负数归为荒唐的数.虽然J·卡当把负数作为一种方程的解，但他认为它们是作为一种不可能的回答.甚至B·帕斯卡也说：“我知道人们无法理解，如果我们从零里拿去四，那么零还会留下什么？” ）等等.但幸运的是，终有一些勇敢而自信的数学家，他们愿意冒险，并坚信解存在于一个未被发现的数的领域，而最终他们迈出了一步，在原来之外规定了一个新的数的 *** .可想而知，对于解上述问题，创造出一个负数是何等地令人兴奋和不平常.同样令人感兴趣的是对新数的验证，看它是否也遵循已存在的数的 *** 的公理. 我们几乎不可能把时间都放在不同数的起源上，但我们能够设想类似的问题及新数发现的梗概. 在许多世纪中，世界上不同地区的人都只用到自然数.大概那时他们没有其他的需要.当然，他们各自对自然数书写的符号和体系，随着文化的不同而不同. 第一个零出现的时间可以追溯到第二个一千年，那时零出现在巴比伦的粘土板上.它最初是空位，后来用两个符号或表示零.但这里零更多地是作为一个位置的持有者，而不是作为一个数. 玛雅人和印度人的数的系统最早将零既作为数零，又作为位置的持有者. 有理数则是进化的第二阶段.人们需要分配一个整体的量，就像分一块面包那样.虽然没有设计表示这些数的符号，但古代人知道分数量的存在.例如，埃及人用“嘴巴”来写 希腊人则用线段的长度表示不同的数量.他们知道在数轴上的点并不只是由自然数和有理数占据.这时我们发现了无理数的介入.而留下来的问题是： 长为1的直角三角形时得到的结果. ——π是无理数吗？ 矩形时得到的. 无须多说，我们知道那时人们已经用到了无理数. 历史揭示，在新数发现的过程中解决旧问题和创造新问题是同时发生的.一个新数 *** 的发现是一码事，但它所采用的定义和逻辑系统则必须是可接受的，而且应与多年演化中所采用的一些规则相共容.（② 原注：那时，对于整数、有理数、无理数和负数的逻辑基础还没有建立印度和 *** 人在他们计算中自由地运用这些数.他们用正数和负数作为资产和债务的值.他们的工作主要埋头于计算，而不太关心它们几何上的有效性.这是由于他们的算术不依赖于几何的缘故. ）负数曾难于为欧洲的数学家所接受，这种状态甚至延续到17世纪.平方根的运用若不限于非负数的 *** ，那么式方程，它要求在其解中运用虚数.一个这样的方程就是x2=-1.设计一个普遍性的 *** ，把所有的数都联系在一起，这样就引进了复数，它出现在像一元二次方程x2+2x+2=0这类方程的解中.复数（形如a上面提到的数，都可以看成复数的一种类别.例如，实数是虚部为0的复数，而纯虚数则是实部为0但虚部不为0的复数. 用几何进行描述时，虚数和复数变得更为具体.像古希腊人在数轴上描述实数一样，复数可以用复平面来描述.每个复平面上的点都对应着一个且只有一个复数，反之亦然.这样，方程x5=1的五个解就能用图解表示出来. 由于复数可由二维的点描述，这似乎就有一个逻辑上的过渡问题，即问一问什么样的数可以描述高维空间上的点.我们发现了一种叫四元数的数，可以用来描述四维空间.现在留下的问题是——数到此为止了吗？我们说，随着新的数学思想的发展和应用，还会经常产生新数的！ 参考资料： ://218.24.233.167:8000/RESOURCE/CZ/CZSX/SXBL/SXTS1060/5290_SR.HTM。
夏商西周和东周，
东周前期为春秋，
后期战国七雄起，
秦朝统一列国休，
两汉之后干戈操，
三国鼎立大战消，
西晋灭亡起东晋，
分立政权南北朝，
隋唐五代北宋起，
辽宋夏金交替更，
南宋结束归一统，
元朝之后是明清.
在共和制成立以前，中国最高的统治政体是以家族世袭为主的，当一个家族推翻统治家族即为朝代更替。以下列出中国历史上所有主要的朝代：1. 夏朝 前2100年 - 前1600年2. 商朝 前1600年 - 前1066年3. 周朝 前1066年 - 前221年1. 西周 前1066年 - 前771年2. 东周 前770年 - 前256年1. 春秋 前770年 - 前476年（三家分晋始为战国）2. 战国 前475年 - 前221年4. 秦朝 前221年 - 前206年1. 西楚 前206年 - 前202年5. 汉朝 前206年 - 220年1. 西汉 前206年 - 23年2. 新朝 8年 - 23年3. 东汉 25年 - 220年6. 三国 220年 - 280年1. 曹魏 220年 - 265年2. 西蜀 221年 - 263年3. 孙吴 222年 - 280年7. 晋朝 265年 - 420年1. 西晋 265年 - 316年2. 东晋 317年 - 420年8. 十六国 304年 - 439年1. 汉前赵 304年 - 330年2. 成汉 304年 - 347年3. 前凉 314年 - 376年4. 后赵 319年 - 350年5. 前燕 337年 - 370年6. 前秦 350年 - 394年7. 后秦 384年 - 416年8. 后燕 384年 - 407年9. 西秦 385年 - 431年10. 后凉 385年 - 403年11. 南凉 397年 - 414年12. 南燕 398年 - 410年13. 西凉 407年 - 421年14. 夏 407年 - 431年15. 北燕 407年 - 436年16. 北凉 401年 - 439年9. 南北朝 420年 - 581年1. 南朝1. 南朝宋 420年 - 479年2. 南朝齐 479年 - 502年3. 南朝梁 502年 - 557年4. 南朝陈 557年 - 589年2. 北朝1. 北魏 386年 - 534年2. 东魏 534年 - 550年3. 北齐 550年 - 577年4. 西魏 535年 - 557年5. 北周 557年 - 581年10. 隋朝 581年 - 618年11. 唐朝 618年 - 907年12. 五代十国 907年 - 979年1. 五代 907年 - 960年1. 后梁 907年 - 923年2. 后唐 923年 - 936年3. 后晋 936年 - 946年4. 后汉 947年 - 950年5. 后周 951年 - 960年2. 十国（902年 - 979年）1. 吴越（904年-978年）2. 闽国[[909年-945年，（当中包含殷943年-945年）]3. 荆南（906年-963年）4. 楚国（907年-951年，楚创立者马殷实际自897年开始地方割据）5. 吴国（904年-937年）6. 南唐（937年-975年）7. 南汉（917年-971年）8. 北汉（951年-979年）9. 前蜀（907年-925年）10. 后蜀（934年-965年）13. 宋朝1. 北宋 960年 - 1127年2. 南宋 1127年 - 1279年3. 辽 916年 - 1125年4. 西夏 1032年 - 1227年5. 金朝 1115年 - 1234年14. 元朝 1260年 - 1368年15. 明朝 1368年 - 1644年16. 清朝 1644年 - 1911年
有理数的发展史：
古埃及人约于公元前17世纪已使用分数，中国《九童算术》中也载有分数的各种运算。分数的使用是由于除法运算的需要。除法运算可以看作求解方程px=q(p≠0)，如果p,q是整数，则方程不一定有整数解。为了使它恒有解，就必须把整数系扩大成为有理系。
关于有理数系的严格理论，可用如下方法建立。在Z*(Z -{0})即整数有序对（但第二元不等于零）的集上定义的如下等价关系：设 p1,p2 Z,q1,q2 Z - {0}，如果p1q2=p2q1。则称（p1,q2）~(p2,q1)。Z*(Z -{0})关于这个等价关系的等价类，称为有理数。（p,q）所在的有理数，记为 。一切有理数所成之集记为Q。令整数p对应一于 ，即（p,1）所在的等价类，就把整数集嵌入到有理数的集中。因此，有理数系可说是由整数系扩大后的数系。
规定了原点，正方向，单位长度的直线叫做
.
原点、正方向和单位长度称为
的三要素。
1.
的定义
数轴是一条规定了原点、正方向和单位长度的直线。其中，原点、正方向和单位长度称为数轴的三要素。
2. 数轴的画法
画一条水平直线，在这条直线上任取一点作为原点，再确定正方向和单位长度。数轴的三要素缺一不可，其中正方向只有一个，一般规定向右的方向为正方向，且数轴无端点。标数字时，通常把数字标在数轴的下方，而表示点的字母写在数轴的上方。
3.数轴的作用
1）.利用数轴表示有理数
有理数都可以用数轴上的点表示，但并不是任意一点都表示有理数，到了初二，同学们自然会明白这是为什么。
2）.利用数轴可以比较有理数的大小。
数轴上从左往右的点表示的数是从小往大的顺序，那么利用数轴可以比较数的大小。在数轴上表示的两个数右边的总比左边的大；正数都大于零；负数都小于零；正数大于一切负数。另外由于数轴是一条直线，是可以向两端无限延伸的，根据这一特点，还可知道没有最小的负数，也没有最大的正数。
人类是动物进化的产物，最初也完全没有数量的概念。
但人类发达的大脑对客观世界的认识已经达到更加理性和抽象的地步。这样，在漫长的生活实践中，由于记事和分配生活用品等方面的需要，才逐渐产生了数的概念。
比如捕获了一头野兽，就用1块石子代表。捕获了3头，就放3块石子。
"结绳记事"也是地球上许多相隔很近的古代人类共同做过的事。我国古书《易经》中有"结绳而治"的记载。
传说古代波斯王打仗时也常用绳子打结来计算天数。用利器在树皮上或兽皮上刻痕，或用小棍摆在地上计数也都是古人常用的办法。
这些办法用得多了，就逐渐形成数的概念和记数的符号。数的概念最初不论在哪个地区都是1、2、3、4……这样的自然数开始的，但是记数的符号却大小相同。
古罗马的数字相当进步，现在许多老式挂钟上还常常使用。 实际上，罗马数字的符号一共只有7个：I（代表1）、V（代表5）、X（代表10）、L（代表50）、C代表100）、D（代表500）、M（代表1,000）。
这7个符号位置上不论怎样变化，它所代表的数字都是不变的。它们按照下列规律组合起来，就能表示任何数： 1.重复次数：一个罗马数字符号重复几次，就表示这个数的几倍。
如："III"表示"3";"XXX"表示"30"。 2.右加左减：一个代表大数字的符号右边附一个代表小数字的符号，就表示大数字加小数字，如"VI"表示"6","DC"表示"600"。
一个代表大数字的符号左边附一个代表小数字的符号，就表示大数字减去小数字的数目，如"IV"表示"4","XL"表示"40","VD"表示"495"。 3.上加横线：在罗马数字上加一横线，表示这个数字的一千倍。
如：""表示 "15,000"，""表示"165,000"。 我国古代也很重视记数符号，最古老的甲骨文和钟鼎中都有记数的符号，不过难写难认，后人没有沿用。
到春秋战国时期，生产迅速发展，适应这一需要，我们的祖先创造了一种十分重要的计算方法--筹算。筹算用的算筹是竹制的小棍，也有骨制的。
按规定的横竖长短顺序摆好，就可用来记数和进行运算。随着筹算的普及，算筹的摆法也就成为记数的符号了。
算筹摆法有横纵两式，都能表示同样的数字。 从算筹数码中没有"10"这个数可以清楚地看出，筹算从一开始就严格遵循十位进制。
9位以上的数就要进一位。同一个数字放在百位上就是几百，放在万位上就是几万。
这样的计算法在当时是很先进的。因为在世界的其他地方真正使用十进位制时已到了公元6世纪末。
但筹算数码中开始没有"零"，遇到"零"就空位。比如"6708"，就可以表示为"┴ ╥ "。
数字中没有"零"，是很容易发生错误的。所以后来有人把铜钱摆在空位上，以免弄错，这或许与"零"的出现有关。
不过多数人认为，"0"这一数学符号的发明应归功于公元6世纪的印度人。他们最早用黑点（·）表示零，后来逐渐变成了"0"。
说起"0"的出现，应该指出，我国古代文字中，"零"字出现很早。不过那时它不表示"空无所有"，而只表示"零碎"、"不多"的意思。
如"零头"、"零星"、"零丁"。"一百零五"的意思是：在一百之外，还有一个零头五。
随着阿拉数字的引进。"105"恰恰读作"一百零五"，"零"字与"0"恰好对应，"零"也就具有了"0"的含义。
如果你细心观察的话，会发现罗马数字中没有"0"。其实在公元5世纪时，"0"已经传入罗马。
但罗马教皇凶残而且守旧。他不允许任何使用"0"。
有一位罗马学者在笔记中记载了关于使用"0"的一些好处和说明，就被教皇召去，施行了拶（zǎn）刑，使他再也不能握笔写字。 但"0"的出现，谁也阻挡不住。
现在，"0"已经成为含义最丰富的数字符号。"0"可以表示没有，也可以表示有。
如：气温0℃，并不是说没有气温；"0"是正负数之间唯一的中性数；任何数（0除外）的0次幂等于1;0!=1（零的阶乘等于1）。 除了十进制以外，在数学萌芽的早期，还出现过五进制、二进制、三进制、七进制、八进制、十进制、十六进制、二十进制、六十进制等多种数字进制法。
在长期实际生活的应用中，十进制最终占了上风。 现在世界通用的数码1、2、3、4、5、6、7、8、9、0，人们称之为 *** 数字。
实际上它们是古代印度人最早使用的。后来 *** 人把古希腊的数学融进了自己的数学中去，又把这一简便易写的十进制位值记数法传遍了欧洲，逐渐演变成今天的 *** 数字。
数的概念、数码的写法和十进制的形成都是人类长期实践活动的结果。 随着生产、生活的需要，人们发现，仅仅能表示自然数是远远不行的。
如果分配猎获物时，5个人分4件东西，每个人人该得多少呢？于是分数就产生了。中国对分数的研究比欧洲早1400多年！自然数、分数和零，通称为算术数。
自然数也称为正整数。 随着社会的发展，人们又发现很多数量具有相反的意义，比如增加和减少、前进和后退、上升和下降、向东和向西。
为了表示这样的量，又产生了负数。正整数、负整数和零，统称为整数。
如果再加上正分数和负分数，就统称为有理数。有了这些数字表示法，人们计算起来感到方便多了。
但是，在数字的发展过程中，一件不愉快的事发。
坐标的思想是法国数学家笛卡尔，也是一名哲学家，所创立的。
传说：
有一天，笛卡尔（Descartes 1596—1650，法国哲学家、数学家、物理学家）生病卧床，但他头脑一直没有休息，在反复思考一个问题：几何图形是直观的，而代数方程则比较抽象，能不能用几何图形来表示方程呢？这里，关键是如何把组成几何的图形的点和满足方程的每一组“数”挂上钩。他就拼命琢磨。通过什么样的办法、才能把“点”和“数”联系起来。突然，他看见屋顶角上的一只蜘蛛，拉着丝垂了下来，一会儿，蜘蛛又顺着丝爬上去，在上边左右拉丝。蜘蛛的“表演”，使笛卡尔思路豁然开朗。他想，可以把蜘蛛看做一个点，它在屋子里可以上、下、左、右运动，能不能把蜘蛛的每个位置用一组数确定下来呢？他又想，屋子里相邻的两面墙与地面交出了三条直线，如果把地面上的墙角作为起点，把交出来的三条线作为三根数轴，那么空间中任意一点的位置，不是都可以用这三根数轴上找到的有顺序的三个数来表示吗？反过来，任意给一组三个有顺序的数，例如3、2、1，也可以用空间中的一个点 P来表示它们。同样，用一组数（a, b）可以表示平面上的一个点，平面上的一个点也可以用一组二个有顺序的数来表示。于是在蜘蛛的启示下，笛卡尔创建了直角坐标系。
高斯平面直角坐标系
为了方便工程的规划、设计与施工，我们需要把测区投影到平面上来，使测量计算和绘图更加方便。而地理坐标是球面坐标，当测区范围较大时，要建平面坐标系就不能忽略地球曲率的影响。把地球上的点位化算到平面上，称为地图投影。地图投影的方法有很多，目前我国采用的是高斯——克吕格投影（又称高斯正形投影），简称高斯投影。它是由德国数学家高斯提出的，由克吕格改进的一种分带投影方法。它成功解决了将椭球面转换为平面的问题。
投影方法
高斯投影的方法是将地球按经线划分为带，称为投影带。投影是从首子午线开始的，分6°带和3°两种。每隔6°划分一带的叫6°带，每隔3°划分一带的叫3°带。我国领土位于东经72°∽136°之间，共包括了11个6°带，即13∽23带；22个3°投影带即24∽45带。
设想一个平面卷成横圆柱套在地球外，如图1-5(a)所示 。通过高斯投影，将中央子午线的投影作为
纵坐标轴，用x表示，将赤道的投影作横坐标轴，用y表示，两轴的交点作为坐标原点，由此构成的平面直角坐标系称为高斯平面直角坐标系，如图1-5(b) 所示。每一个投影带都有一个独立的高斯平面直角坐标系，区分各带坐标系则利用相应投影带的带号。在每一个投影带内，y坐标值都有正有负，这对于计算和使用都不方便，为了使y坐标都为正值，故将纵坐标轴向西平移500㎞，并在y坐标前加上投影带的带号。 6°带投影是从英国格林尼治子午线开始，自西向东，每隔经差6°分为一带，将地球分为60个带，其编号分别为1,2,3，…60。任意带的中央子午线经度为Lo，它与投影带号N的关系如下所示：
Lo=(6N-3°)
式中：N———6°带的带号
离中央子午线越远，长度变形越大，在要求较小的投影变形时，可采用3°投影带。3°带是在6°带的基础上划分的，如图所示。每3°为一带，从东经1°30′开始，共120带，其中央子午线在奇数带时与6°带的中央子午线重合，每带的中央子午线可用下面的工式计算：
Lo=3N′
式中：N′——3°带的带号。
为了避免y坐标出现负值，3°带的坐标原点同6°带一样，向西移动500㎞，并在y坐标前加3°带的带号。
起源编辑本段 16世纪意大利米兰学者卡当（Jerome Cardan1501—1576）在1545年发表的《重要的艺术》一书中，公布了三次方程的一般解法，被后人称之为“卡当公式”。
他是第一个把负数的平方根写到公式中的数学家，并且在讨论是否可能把10分成两部分，使它们的乘积等于40时，他把答案写成=40，尽管他认为和这两个表示式是没有意义的、想象的、虚无飘渺的，但他还是把10分成了两部分，并使它们的乘积等于40。给出“虚数”这一名称的是法国数学家笛卡尔（1596—1650），他在《几何学》（1637年发表）中使“虚的数”与“实的数”相对应，从此，虚数才流传开来。
数系中发现一颗新星——虚数，于是引起了数学界的一片困惑，很多大数学家都不承认虚数。德国数学家莱布尼茨（1646—1716）在1702年说：“虚数是神灵遁迹的精微而奇异的隐避所，它大概是存在和虚妄两界中的两栖物”。
瑞士数学大师欧拉（1707—1783）说；“一切形如，习的数学武子都是不可能有的，想象的数，因为它们所表示的是负数的平方根。对于这类数，我们只能断言，它们既不是什么都不是，也不比什么都不是多些什么，更不比什么都不是少些什么，它们纯属虚幻。”
然而，真理性的东西一定可以经得住时间和空间的考验，最终占有自己的一席之地。法国数学家达朗贝尔（1717—1783）在1747年指出，如果按照多项式的四则运算规则对虚数进行运算，那么它的结果总是的形式（a、b都是实数）（说明：现行教科书中没有使用记号=-i，而使用=一1）。
法国数学家棣莫佛（1667—1754）在1730年发现公式了，这就是著名的棣莫佛定理。欧拉在1748年发现了有名的关系式，并且是他在《微分公式》（1777年）一文中第一次用i来表示一1的平方根，首创了用符号i作为虚数的单位。
“虚数”实际上不是想象出来的，而它是确实存在的。挪威的测量学家成塞尔（1745—1818）在1779年试图给于这种虚数以直观的几何解释，并首先发表其作法，然而没有得到学术界的重视。
德国数学家阿甘得（1777—1855）在1806年公布了虚数的图象表示法，即所有实数能用一条数轴表示，同样，虚数也能用一个平面上的点来表示。在直角坐标系中，横轴上取对应实数a的点A，纵轴上取对应实数b的点B，并过这两点引平行于坐标轴的直线，它们的交点C就表示复数a+bi。
象这样，由各点都对应复数的平面叫做“复平面”，后来又称“阿甘得平面”。高斯在1831年，用实数组（a,b）代表复数a+bi，并建立了复数的某些运算，使得复数的某些运算也象实数一样地“代数化”。
他又在1832年第一次提出了“复数”这个名词，还将表示平面上同一点的两种不同方法——直角坐标法和极坐标法加以综合。统一于表示同一复数的代数式和三角式两种形式中，并把数轴上的点与实数—一对应，扩展为平面上的点与复数—一对应。
高斯不仅把复数看作平面上的点，而且还看作是一种向量，并利用复数与向量之间—一对应的关系，阐述了复数的几何加法与乘法。至此，复数理论才比较完整和系统地建立起来了。
经过许多数学家长期不懈的努力，深刻探讨并发展了复数理论，才使得在数学领域游荡了200年的幽灵——虚数揭去了神秘的面纱，显现出它的本来面目，原来虚数不虚呵。虚数成为了数系大家庭中一员，从而实数集才扩充到了复数集。
随着科学和技术的进步，复数理论已越来越显出它的重要性，它不但对于数学本身的发展有着极其重要的意义，而且为证明机翼上升力的基本定理起到了重要作用，并在解决堤坝渗水的问题中显示了它的威力，也为建立巨大水电站提供了重要的理论依据。 从记数法到复数域：数系理论的历史发展 作者：纪志刚 摘 要：数系理论的历史发展表明，数的概念的每一次扩张都标志着数学的进步，但是这种进步并不是按照数学教科书的逻辑步骤展开的。
希腊人关于无理数的发现暴露出有理数系的缺陷，而实数系的完备性一直要到19世纪才得以完成。负数早在《九章算术》中就已被中国数学家所认识，然而，15世纪的欧洲人仍然不愿意承认负数的意义。
“四元数”的发明，打开了通向抽象代数的大门，同时也宣告在保持传统运算定律的意义下，复数是数系扩张的终点。人类发明的记数法并没有束缚自己的想象力，中国古代“数穷则变”的思想对于当代数学哲学仍具有积极的意义。
引 言 数，是数学中的基本概念，也是人类文明的重要组成部分。数的概念的每一次扩充都标志着数学的巨大飞跃。
一个时代人们对于数的认识与应用，以及数系理论的完善程度，反映了当时数学发展的水平。今天，我们所应用的数系，已经构造的如此完备和缜密，以致于在科学技术和社会生活的一切领域中，它都成为基本的语言和不可或缺的工具。
在我们得心应手地享用这份人类文明的共同财富时，是否想到在数系形成和发展的历史过程中，人类的智慧所经历的曲折和艰辛呢？ 一、记数法、位置制和零 人类在进化的蒙昧时期，就具有了一种“识数”的才能，心理学家称这种才能为“数觉”（perception of number）。动物行为学家则认为，这种“数觉”并非为人类所独有。
人类智慧。