如何证明函数在区间内可导

Question

如题所述

Answer 1

证明函数在区间内可导步骤如下：
1、根据函数可导的定义，函数在某点的左右极限存在且相等，函数在该点可导。需要计算函数在区间端点处的左右极限，判断它们是否相等。
2、函数在区间端点处的左右极限相等说明该函数至少有一个可导点。接下来需要证明，在该区间内任意一点都是可导的。
3、根据求导数（即斜率）时使用到的差商公式或其他适当方法，计算出任意一对不同位置上两个数值之差与其自变量之差比值（即斜率），检查这些斜率是否趋近于固定值。如这些斜率都趋近于同一个常数或者收敛到某个特定值（为正无穷大、负无穷大或有界），可以得出结论：该区间内所有位置上均满足连续性和平滑性条件，且具备了连续微分学所需求解问题中单调增加、凸起/凹陷以及拥有唯一最小/最大值潜力所必需具备属性。
4、在完成以上步骤后得出结论：由于每个点上的斜率都收敛于某个常数或特定值，因此该函数在整个区间内均可导。