在数学中，如何使用向量线性运算的坐标表示公式？

Question

如题所述

Answer 1

在数学中，向量线性运算的坐标表示公式是一种用来描述向量加法、减法和数乘的方法。这种方法将向量表示为有序的数字列表，这些数字称为向量的分量或坐标。在二维空间中，向量可以表示为两个分量的有序对 (x, y)；在三维空间中，向量可以表示为三个分量的有序对 (x, y, z)。
向量加法和减法
对于两个向量 u = (u1, u2, ..., un) 和 v = (v1, v2, ..., vn)，它们的加法和减法可以通过它们的分量进行计算：
向量加法：u + v = (u1 + v1, u2 + v2, ..., un + vn)
向量减法：u - v = (u1 - v1, u2 - v2, ..., un - vn)
例如，在二维空间中，有两个向量 u = (3, 4) 和 v = (1, 2)，则它们的和为 (3 + 1, 4 + 2) = (4, 6)，它们的差为 (3 - 1, 4 - 2) = (2, 2)。
数乘（标量乘法）
对于实数 k 和向量 u = (u1, u2, ..., un)，它们的数乘可以通过以下公式进行计算：
k * u = (k * u1, k * u2, ..., k * un)
例如，对于实数 k = 2 和向量 u = (3, 4)，它们的数乘为 2 * (3, 4) = (2 * 3, 2 * 4) = (6, 8)。
点积（内积）
对于两个向量 u = (u1, u2, ..., un) 和 v = (v1, v2, ..., vn)，它们的点积可以通过以下公式进行计算：
u · v = u1 * v1 + u2 * v2 + ... + un * vn
例如，在二维空间中，有两个向量 u = (3, 4) 和 v = (1, 2)，则它们的点积为 3 * 1 + 4 * 2 = 3 + 8 = 11。
叉积（外积）
叉积仅适用于三维空间中的向量。对于两个向量 u = (u1, u2, u3) 和 v = (v1, v2, v3)，它们的叉积可以通过以下行列式进行计算：
u × v = |u1 u2 u3|
|v1 v2 v3|
其中，行列式的计算方法为：
u × v = (u2 * v3 - u3 * v2, u3 * v1 - u1 * v3, u1 * v2 - u2 * v1)
例如，对于两个三维向量 u = (3, 4, 5) 和 v = (1, 2, 3)，它们的叉积为：
(4 * 3 - 5 * 2, 5 * 1 - 3 * 3, 3 * 2 - 4 * 1) = (12 - 10, 5 - 9, 6 - 4) = (2, -4, 2)
总之，向量线性运算的坐标表示公式为我们提供了一种简洁、直观的方式来处理向量的加法、减法、数乘、点积和叉积等操作。这些操作在许多领域，如物理、计算机图形学和机器学习等，都有着广泛的应用。