x = asinθ，dx = acosθ dθ，√(a² - x²) = √(a² - a²sin²θ) = √(a²cos²θ) = acosθ
∫ x²√(a² - x²) dx
= ∫ a²sin²θ • acosθ • acosθ dθ
= a⁴∫ sin²θcos²θ dθ
= a⁴∫ (1/2 • sin2θ)² dθ
= (a⁴/4)(1/2)∫ (1 - cos4θ) dθ
= (a⁴/8)(θ - 1/4 • sin4θ) + C
= (a⁴/8)arcsin(x/a) - (a⁴/8)sinθcosθ(cos²θ - sin²θ) + C
= (a⁴/8)arcsin(x/a) - (a⁴/8)(x/a)[√(a² - x²)/a][(a² - x²)/a² - x²/a²] + C
= (a⁴/8)arcsin(x/a) + (x/8)(2x² - a²)√(a² - x²) + C
扩展资料
常用积分公式：
1）∫0dx=c
2）∫x^udx=(x^(u+1))/(u+1)+c
3）∫1/xdx=ln|x|+c
4）∫a^xdx=(a^x)/lna+c
5）∫e^xdx=e^x+c
6）∫sinxdx=-cosx+c
7）∫cosxdx=sinx+c
8）∫1/(cosx)^2dx=tanx+c
9）∫1/(sinx)^2dx=-cotx+c
10）∫1/√（1-x^2) dx=arcsinx+c
11）∫1/(1+x^2)dx=arctanx+c
求不定积分的方法：
第一类换元其实就是一种拼凑,利用f'(x)dx=df(x)；而前面的剩下的正好是关于f（x）的函数，再把f（x）看为一个整体，求出最终的结果。（用换元法说，就是把f（x）换为t，再换回来）。
分部积分，就那固定的几种类型，无非就是三角函数乘上x，或者指数函数、对数函数乘上一个x这类的，记忆方法是把其中一部分利用上面提到的f‘（x）dx=df（x）变形，再用∫xdf(x)=f(x)x-∫f（x）dx这样的公式，当然x可以换成其他g（x）。
√(a² - x²) = √(a² - a²sin²θ) = |acosθ| = acosθ
∫ x²/√(a² - x²) dx
= ∫ (a²sin²θ)/(acosθ) * (acosθ)dθ
= ∫ a² * (1 - cos2θ)/2 dθ
= (a²/2)(θ - 1/2 * sin2θ) + C
= (a²/2)arcsin(x/a) - (a²/2) * x/a * √(a² - x²)/a + C
= (a²/2)arcsin(x/a) - (x/2)√(a² - x²) + C本回答被网友采纳
简单计算一下，答案如图所示
