为什么任意方向的方向导数都存在，但该点可以不连续？

Question

反例我知道，但我弄不懂，不是左右导数都存在该点连续吗，为什么放到三维空间就存在反例呢，谁能给我一下理论解释，不想要例子

Answer 1

考察函数f(x,y)=1,当0<y<x^2,-∞<x<+∞时,
0,其余部分,
这个函数在原点不连续，因为沿直线趋于原点时极限是0，而沿y=kx^2,(0<k<1)时极限是1，在原点重极限不存在。
但在始于原点的任何射线上，都存在包含原点的充分小的一段，在这一段上f的函数值恒为零，于是由方向导数定义，在原点处沿任何方向l都有∂f/∂l|(0,0)=0。
这说明函数在一点连续不是方向导数存在的必要条件，也不是充分条件。

Answer 2

简单来说就是曲线比直线多得多，你所有方向导数存在的限制条件并不够强，很容易满足。