高等数学，例4（利用极坐标的二重积分求解）

Question

图3是我自己的计算过程，不明白算出的结果比标准答案少个2倍，还望大佬们指点迷津（疑难解答悬赏必给）

Answer 1

极坐标是 x = ρcosθ, y = ρsinθ

则  √(R^2-x^2) = √[R^2-(ρcosθ)^2],  你错为  √(R^2-x^2) = Rsinθ。

此题用极坐标可比直角坐标复杂多了。

第 3 行 第 1 式由前面积分函数分子分母约去 1-cosθ 得来。

Answer 2

你的积分上限错了

追问

老哥老哥，您这个是利用 直角坐标系的二重积分中的将积分区域视为x型 方法来求解的，我问的是利用极坐标系的二重积分方法来解这道题目

Answer 3

首先极坐标思路是对的，可知道你用极坐标解题错在哪了？存在积分区域，你认为它是圆了，实际上不是的，Z面 是由xy 共同组成的线向z 积分组成的面，这个R 在动，不是固定的圆半径。你细心品你的
Dxy 到底是啥追问

那老哥，正确的该如何处理呢？

追答

小姐姐，用二重积分dxdy

加油考研

Answer 4

是计算错误。极坐标变换时，R²-x²=R²-ρ²cos²θ≠(ρsinθ)²。
详细过程是，∫(0,R)√(R²-ρ²cos²θ)ρdρ=[-1/(2cos²)]∫(0,R)√(R²-ρ²cos²θ)d[R²-ρ²cos²θ]=(R³/3)(1-sin³θ)/cos²θ。
∴原式=(R³/3)∫(0,π/2)(1-sin³θ)dθ/cos²θ=…=2R³/3。
供参考。