已知函数f(x)=e^x-2x(为自然对数的底数) (1)求f(x)的极小值 (2)求证:f(x)

Question

已知函数f(x)=e^x-2x(为自然对数的底数)
(1)求f(x)的极小值
(2)求证:f(x)≥-x+1在[0，+∞)上恒成立

Answer 1

解：（1）f(x)=e^x-2x，定义域为R，
则f'(x)=e^x-2，
由f'(x)=0得：x=ln2，
当x∈(-∞，ln2)时，f'(x)<0；
当x∈(ln2，+∞)时，f'(x)>0.
∴f(x)在(-∞，ln2)单调递减，在(ln2，+∞)单调递增.
故f(x)的极小值=f(ln2)=2-2ln2.

（2）令g(x)=f(x)+x-1=e^x-x-1，
则g'(x)=e^x-1,
当x∈[0，+∞)时，g'(x)≥0,
∴g(x)在[0，+∞)单调递增,
∴g(x)≥g(0)=0,
∴f(x)+x-1≥0，
即f(x)≥-x+1在[0，+∞)恒成立.