“1^∞型”求极限的方法是什么？

Question

如题所述

Answer 1

令y＝[1+(a/x)]^x

两边同时取自然对数，得：

㏑y＝㏑{[1+(a/x)]^x}

即㏑y＝x㏑[1+(a/x)]

lim(x→∞)x㏑[1+(a/x)]

＝lim(x→∞){㏑[1+(a/x)]}/（1/x）

根据洛必达法则：

lim(x→∞){㏑[1+(a/x)]}/（1/x）

＝lim(x→∞){(-a/x²)[x/（x+a）]}/(-1/x²)

＝lim(x→∞)ax²/[x（x+1）]

＝lim(x→∞)2ax/2x+a

＝2a/2

＝a

∴lim(x→∞)[1+(a/x)]^x=e^a

至于lim(x→∞)[1+(1/x)]^x=e的证明，把a换成1就行了