求极限lim[(a^x+b^x)/2]^1/x (x→0)a>0,b>0

Question

如题所述

Answer 1

过程如下：

Limx趋向0 [（a^x+b^x）/2]^(1/x),

=Limx趋向0 [1+（a^x+b^x-1）/2-1]^(1/x)

=Limx趋向0 [1+（a^x+b^x）/2-1]^{1/[（a^x+b^x-1）/2-1]}(1/x)[（a^x+b^x-1）/2-1]

底数：Limx趋向0 

[1+（a^x+b^x）/2-1]^{1/[（a^x+b^x-1）/2-1]}=e

指数：Limx趋向0

[（a^x+b^x-1）/2-1]/x

=Limx趋向0(a^xlna+b^xlnb)/2

=(lnab)/2

极限=√(ab)

扩展资料：

当n>N时，均有不等式|xn-a|<ε成立”意味着：所有下标大于N的都落在（a-ε，a+ε）内；而在（a-ε，a+ε）之外，数列{xn} 中的项至多只有N个（有限个）。

换句话说，如果存在某 ε0>0，使数列{xn} 中有无穷多个项落在（a-ε0，a+ε0） 之外，则{xn} 一定不以a为极限。

Answer 2

如图

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Answer 3

a^X=b^X
lim=(1+)^无穷=(1+1/x)^(无穷）=e