不等式证明

Question

主要是第三问，要详细过程
谢谢！！！

Answer 1

(1)f'(x)=e^x-e,在(-∞,1)内，f'<0,f单调下降；在(1,+∞)内，f'>0,f单调上升；
(2)此问不明确，如取x=1,m=2e，则f(x)<0
(3)F(x)=f(x)+f(-x)=e^x-mx+e^(-x)+mx=e^x+e^(-x)
设g(x)=-lnF(x)
g'(x)=-[e^x-e^(-x)]/[e^x+e^(-x)],g''(x)=-4/[e^x+e^(-x)]^2<0
故g(x)是上凸函数，由Jensen不等式
∑-1/n*lnF(n)<=-lnF(∑1/n*k)=-lnF((n+1)/2)
即1/n∑lnF(n)>=lnF((n+1)/2)=1/2ln{e^[(n+1)/2]+e^[-(n+1)/2]}^2
=1/2ln{e^(n+1)+2+e^[-(n+1)]}>1/2ln[e^(n+1)+2]
ln[F(1)*F(2)*...*F(n)]>ln[e^(n+1)+2]^(n/2)
故F(1)*F(2)*...*F(n)>[e^(n+1)+2]^(n/2)