第1个回答 2008-08-01
不等式的证明方法
（1）比较法：作差比较： .
作差比较的步骤：
①作差：对要比较大小的两个数（或式）作差.
②变形：对差进行因式分解或配方成几个数（或式）的完全平方和.
③判断差的符号：结合变形的结果及题设条件判断差的符号.
注意：若两个正数作差比较有困难，可以通过它们的平方差来比较大小.
（2）综合法：由因导果.
（3）分析法：执果索因.基本步骤：要证……只需证……，只需证……
①“分析法”证题的理论依据：寻找结论成立的充分条件或者是充要条件.
②“分析法”证题是一个非常好的方法，但是书写不是太方便，所以我们可以利用分析法寻找证题的途径，然后用“综合法”进行表达.
（4）反证法：正难则反.
（5）放缩法：将不等式一侧适当的放大或缩小以达证题目的.
放缩法的方法有：
①添加或舍去一些项，如： ； ；
②将分子或分母放大（或缩小）；
③利用基本不等式，如： ；；
（6）换元法：换元的目的就是减少不等式中变量，以使问题化难为易，化繁为简，常用的换元有三角换元和代数换元.
如：已知 ，可设 ；
已知 ，可设 ( )；
已知 ，可设 ；
已知 ，可设 ；
（7）构造法：通过构造函数、方程、数列、向量或不等式来证明不等式；
证明不等式的方法灵活多样，但比较法、综合法、分析法和数学归纳法仍是证明不等式的最基本方法．要依据题设、题断的结构特点、内在联系，选择适当的证明方法，要熟悉各种证法中的推理思维，并掌握相应的步骤，技巧和语言特点．
⑻数学归纳法法：数学归纳法法证明不等式在数学归纳法中专门研究.本回答被提问者和网友采纳
第2个回答 2008-08-01
g3.1039 不等式证明方法（二）
一、知识回顾
1、反证法：从否定结论出发，经过逻辑推理，导出矛盾，从而肯定原结论的正确；
2、放缩法：欲证 ，可通过适当放大或缩小，借助一个或多个中间量使得 （或 ），常用的放缩方式：
舍去或加上一些项；
； ；
3、换元法：三角换元、代数换元；
4、判别式法
二、基本训练：
1、实数 、 、 不全为零的条件为（ ）
、 、 全不为零 、 、 中至多只有一个为零
、 、 只有一个为零 、 、 中至少有一个不为零
2、已知 ， ，则有（ ）
3、为已知 ，则 的取值范围是 。
4、设 ， ，则 、 大小关系为 。
5、 实数 ，则 的取值范围是 。
三、例题分析：
例1、x＞0，y＞0，求证：
例2、函数 ，求证：
例3、 （三角换元法）
例4、求证： （判别式法）
例5、若a,b,c都是小于1的正数，求证： .
（反证法）
例6、求证： （放缩法）
例7、设二次函数 ，若函数 的图象与直线 和 均无公共点。
（1） 求证：
（2） 求证：对于一切实数 恒有
四、课堂小结：
1、凡是“至少”、“唯一”或含有否定词的命题适宜用反证法.
2、换元法（主要指三角代换法）多用于条件不等式的证明，此法若运用恰当，可沟通三角与代数的联系，将复杂的代数问题转化成简单的三角问题.
3、含有两上字母的不等式，若可化成一边为零，而另一边是关于某字母的二次式时，这时可考虑判别式法，并注意根的取值范围和题目的限制条件.
4、有些不等式若恰当地运用放缩法可以很快得证，放缩时要看准目标，做到有的放矢，注意放缩适度.
五、同步练习g3.1039 不等式证明方法（二）
1、若 且 ，则 的取值范围是（ ）
2、已知 ，则下列各式中成立的是（ ）
3、设,y∈R,且x +y =4,则 的最大值为（ ）
A) 2- B)2+2 C) -2 D)
4、若f(n)= -n,g(n)=n- ,φ(n)= ,则f(n),g(n),ф(n)的大小顺序为____________.
5、设a,b是两个实数,给出下列条件:①a+b>1； ②a+b=2；③a+b>2；④a +b >2；⑤ab>1，其中能推出:“a、b中至少有一个实数大于1”的条件是____________.
6、a、b、c∈R-，a≠b，求证：
7、a＞b＞c，求证：
（提示：换元法，令a－b=m∈R＋，b－c=n∈R＋）
8、若 ，求证：
9、已知 ，求证： 中至少有一个不少于 。
10、已知 、 、 是整数且 ，试证明：
（1） ；
（2） .
答案：DCB 4、g(n)>ф(n)> f(n) 5、③