_����������高数题目：计算定积分/求极限

Question

如题所述

Answer 1

答：
1.
不定积分∫xcos2x dx
=∫x/2d(sin2x)
=x/2*sin2x-∫sin2x/2dx
=xsin2x/2+cos2x/4 + C
所以原不定积分∫(0到π/2)xcos2x dx
=xsin2x/2+cos2x/4 |(0到π/2)
=0+cosπ/4-cos0/4
=-1/2

2.
因为∫(0到e) ln(1+x^2) dx为定积分，结果是一个常数c。
所以dc/dx=0，常数的微分是0.
所以是0.

3.
不定积分∫e^x(1+e^x)^2 dx
=∫(1+e^x)^2 d(1+e^x)
=(1+e^x)^3/3 + C
所以原定积分∫(0到ln2)e^x(1+e^x)^2 dx
=(1+e^x)^3/3 |(0到ln2)
=(1+e^(ln2))^3/3-(1+e^0)^3/3
=9-8/3
=19/3

4.
将x=0代入原式有0/0型。所以用洛必达法则。
原式
=limx→0 [-1/(2√(1-x))]/(4cos4x)
=(-1/2)/4
=-1/8

5.
f'(x)=1/(2√x)。当x=1时，f'(x)=f'(1)=1/2
又f(1)=1，所以切线过点(1,1)，斜率为1/2。
所以切线为y=x/2+1/2，即2y-x=1。
选A。