高数，证明

Question

如题所述

Answer 1

由f'(a+)f'(b-) > 0, 不妨设f'(a+) > 0 (否则可改为对-f(x)讨论),
由f'(x)连续, 在a的某右邻域(a,a+ε)上f'(x) > 0,
从而f(x)在其上严格单调递增, 成立f(x) > f(a) = 0, 即f(x)在(a,a+ε)上取正值.
而f'(a+)f'(b-) > 0, 有f'(b-) > 0,
同上可证明f(x)在b的某个左邻域(b-ε,b)上取负值.
由f(x)连续, 根据介值定理, 存在ξ ∈ (a,b), 使f(ξ) = 0.

由f(x)在[a,ξ]连续, 在(a,ξ)可导, 且f(a) = f(ξ) = 0,
根据Rolle定理, 存在s ∈ (a,ξ), 使f'(s) = 0.
由f(x)在[ξ,b]连续, 在(ξ,b)可导, 且f(ξ) = f(b) = 0,
根据Rolle定理, 存在t ∈ (ξ,b), 使f'(t) = 0.
而由f'(x)在[s,t]连续, 在(s,t)可导, 且f'(s) = f(t) = 0,
根据Rolle定理, 存在η ∈ (s,t), 使f"(η) = 0.追问

哇，好厉害