第3个回答 2011-07-31
该题中,三直径之交点即为△ABC的外心,若就外心这一条件进行一些联想和变化,经探索可得一系列与面积有关的结果.我们归纳如下(证明略去).
定理:设P为△ABC平面内的点,AP,BP,CP所在直线分别交△ABC的外接圆于,那么
(1)若P为△ABC的外心,则对锐角三角形,有.①
对非锐角三角形(不妨设∠A≥90 ,下同),有.②
(2)若P为△ABC的垂心,则对锐角三角形,有①式成立,对非锐角三角形,有②式成立.
(3)若P为△ABC的重心,则有.③
当且仅当△ABC为正三角形的时等号成立.
(4)若P为△ABC的内心,则有③式成立,当且仅当△ABC为正三角形时等号成立.
据以上定理,可得以下若干推论:
推论1,已知⊙O的内接锐角三角形ABC,是⊙O的三角条直径,且BC=a,CA=b,AB=c,=,则有.若,则又可得
,它等于三角恒等tgA+tgB+tgC=tgAtgBtgC.
推论2,设△ABC的重心为G,AG,BG,CG的延长线分别交三边BC,CA,AB于D,E,F,交△ABC的外接圆于,则.(若将"重心"改为"内心",其他条件不变,可知该结论仍成立).