这个题目有意思.
解: 因为α1,α2线性无关,α3=3α1+α2,α4=α1-2α2
所以 r(A)=r(α1,α2,α3,α4)=2.
所以 AX = 0 的
基础解系含 4-2=2 个向量.
由b=α1-α2+α3-α4 知 (1,-1,1,-1)'是AX=b的解.
而 α1-α2+α3-α4
= α1-α2+(3α1+α2)-α4
= 4α1-α4
所以 (4,0,0,-1)' 是AX=b的解
又 α1-α2+α3-α4
= α1-α2+α3-(α1-2α2)
= α2+α3
所以 (0,1,1,0)' 也是AX=b的解
所以 b1=(1,-1,1,-1)'-(4,0,0,-1)'=(-3,-1,1,0)'
b2=(1,-1,1,-1)'-(0,1,1,0)' =(1,-2,0,-1)'
是 AX=b 的基础解系.
所以方程组的通解为:
(1,-1,1,-1)'+c1(-3,-1,1,0)'+c2(1,-2,0,-1)', c1,c2为任意常数.
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