设f(x)的定义域为R，且满足f(x+1)=-f（x). （1）求证f(x)是周期函数。（2）若f(x)是偶函数，且0≤x≦1时，

Question

2）若f(x)是偶函数，且0≤x≦1时，f(x
)=x²,①求当1≦x≦2时f(x)的表达式。②求使不等式f(x)≧¼成立的集合。

Answer 1

(1)证明：
∵f(x+1)=-f(x)
∴f(x+2)=-f(x+1)=-[-f(x)]=f(x)
∴f(x)是周期函数，最小正周期为2

(2) 1≤x≤2时，0≤x-1≤1
又f(x+1)=-f(x)
∴f(x)=-f(x-1)
=-(x-1)²

∵0≤x≤1时, f(x)=x², 在[0,1]上为单调递增函数
∴1/2≤x≤1时, f(x)≥f(1/2)=1/4
1≤x≤2时, f(x)=-(x-1)²≤0
∴在[0,2]上, f(x)≥1/4的解集为[1/2, 1]
又f(x)为周期为2的周期函数
∴在R上, f(x)≥1/4的解集为[2k+1/2, 2k+1], k∈Z

Answer 2

1 f(x+1)=-f(x) f(x+2)=-f(x+1)=f(x) 即f(x+2)=f(x) T=2 的周期函数
2 因 f(-x)=f(x) f(x)=ax平方+BX+C=A(-X)平方+BX+C 即 BX=-BX B=0
f(0)=C=0平方=0 f(1)=AX平方=1平方 A=1 所以 f(x)=x平方
3 X平方>1/4 X>1/2 或 X<-1/2

Answer 3

由题意 f(x)=-f(x-1)=-f(x+1)
所以为周期函数