已知函数f(x)=2^x

Question

1.若存在x属于(负无穷,0),使|af(x)-f(2x)|>1成立,试求a的取值范围
2.当a>0,且x属于[0,15]时，不等式f(x+1)<=f[2x+a)^2]恒成立，求a的取值范围

Answer 1

第一小题
|af(x)-f(2x)|>1代入后提出2^x得2^x|a-2^x|>1,即|a-2^x|>2^(-x), 得a-2^x＞2^(-x)或a-2^x＜-2^(-x),
1.若a-2^x＞2^(-x)，即a＞2^(-x)+2^x,由单调性及x范围{2^x∈（0,1）}可知a＞=2；
2.若a-2^x＜-2^(-x),即a＜-2^(-x)+2^x，由单调性及x范围{2^x∈（0,1）}可知此时a＜0，
所以综上，a＜0或a＞=2；
第二小题
因为f(x)为单调递增函数，所以直接去掉，得x+1≤（2x+a)²，因为两边均大于零，直接开方，（x+1)^1/2 ≤ 2x+a，a≥（x+1)^1/2 -2x,设新函数求导发现右边单调递减，所以当x取0时右边最大，为1，所以a≥1

呼呼，累死我勒