求数学高手。怎么证明正五边形中心相对于于图像内其他点到各顶点连线总和最短

Question

这是我们数学研究小组的问题之一。
正n边形（奇数边）中心到各顶点的连线总和 相对于 图形内别的点到各顶点的连线总和 最短。有没有什么公式、定理、几何作图等等能证明的，方法不限！！！！求助各位高手。

Answer 1

N_1、N_2、N_3、…、N_n依次是正n边形的顶点。假设Q是中心，那么不妨设QO_j=b，那么我们过N_j分别做QN_j的垂线。得到一个新的正n边形，边长如果是a。任取一点，到N_j的距离为s_j。通过面积相等来比较:a(s_1+…+s_n)/2>=a(h_1+h_2+…+h_n)/2>=(ab/2)*n
两边约去a，就是你要的结果追问

请问 QO_j , N_j , QN_j 是什么

追答

j是下标。因为有n个我就懒得写了

追问

以五边形ABCDE为例子呢，各边为10,能否演示一下？谢谢。

追答

刚才已经提到这个公式了：a(s_1+…+s_n)/2>=a(h_1+h_2+…+h_n)/2>=(ab/2)*n
以五边形为例。Q是中心，A,B,C,D,E是顶点。分别过A,B,C,D,E做QA，QB，QC，QD，QE的垂线，得到新正五边形GHIJK再根据任意点到A,B,C,D,E的距离s_1,s_2,…,s_5和新五边形的边长得到GHIJK的面积。
自己应该多多思考，十边形的其实不用这种办法，偶数边的可以直接通过两边和大于第三边得到… 对于一般奇数边，思想方法类似，请自己验证
满意请采纳！

Answer 2

可以以正n边形（奇数边）中心为圆心画圆，设半径为R,则顶点都在圆上，故总和为nR。再以图形内别的点为圆心画圆，再比较大小，应该可证！

Answer 3

感觉好像用2边之和大于第3边，还有就是大角对应大边就可以了~~没具体去做~