一道定积分题 希望朋友解答一下谢谢

Question

第四题 谢谢🙏

Answer 1

解：
根据题意，令：∫(-1,1) f(x)dx=A，则对原式求区间[-1,1]的定积分，则：
f(x)=(1+sinx)/(1+x²) - ∫(-1,1) f(x)dx
A=∫(-1,1) (1+sinx)dx/(1+x²) - A·(1+1)
3A=∫(-1,1) (1+sinx)dx/(1+x²)
∫(-1,1) (1+sinx)dx/(1+x²)
=∫(-1,1) dx/(1+x²) + ∫(-1,1) sinxdx/(1+x²)
上式中，sinx/(1+x²)是奇函数，因此：
∫(-1,1) sinxdx/(1+x²) =0
而：
∫(-1,1) dx/(1+x²)
=arctan|(-1,1)
=π/2
∴
3A=∫(-1,1) (1+sinx)dx/(1+x²)=π/2
A=π/6
∴
f(x)=(1+sinx)/(1+x²) - (π/6)
lim(x→∞) f(x)
= -(π/6)

Answer 2

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