第1个回答 2013-09-18
已知[-2,m]∫√(-x²-2x)dx=π/4,则m=?
解:定义域:由-x²-2x=-x(x+2)≧0,得x(x+2)≦0,故-2≦x≦0为其定义域。
原式=[-2,m]∫√[-(x²+2x)]dx=[-2,m]∫√[-(x+1)²+1]dx
令x+1=sinu,则dx=cosudu,x=-2时sinu=-1,u=-π/2;x=m时sinu=m+1,u=arcsin(m+1);
故原式=[-π/2,arcsin(m+1)]∫[√(1-sin²u)]cosudu=[-π/2,arcsin(m+1)]∫cos²udu
=[-π/2,arcsin(m+1)]∫[(1+cos2u)/2]du=[-π/2,arcsin(m+1)](1/2)[∫du+(1/2)∫cos2ud(2u)]
=(1/2)[u+(1/2)sin2u]∣[-π/2,arcsin(m+1)]
=[(1/2)u+(1/2)sinucosu]∣[-π/2,arcsin(m+1)]
=(1/2)arcsin(m+1)+(1/2)sin[arcsin(m+1)]cos[arcsin(m+1)]+π/4=π/4
故得(1/2)arcsin(m+1)+(1/2)sin[arcsin(m+1)]cos[arcsin(m+1)]
=(1/2)arcsin(m+1)+(1/2)(m+1)√[1-(m+1)²]
=(1/2)arcsin(m+1)+(1/2)(m+1)√(-m²-2m)=0
即有arcsin(m+1)+(m+1)√(-m²-2m)=0
故m=-1。