数学定积分的一道题，求详细解答

Question

如题所述

Answer 1

利用几何意义。
y=√(-x²-2x)
y²=-x²-2x，
x²+2x+y²=0，所以(x+1)²+y²=1
半径为1的上半圆，面积为圆的1/4，所以m=-1

Answer 2

已知[-2，m]∫√(-x²-2x)dx=π/4，则m=?
解：定义域：由-x²-2x=-x(x+2)≧0，得x(x+2)≦0，故-2≦x≦0为其定义域。
原式=[-2，m]∫√[-(x²+2x)]dx=[-2，m]∫√[-(x+1)²+1]dx
令x+1=sinu，则dx=cosudu，x=-2时sinu=-1，u=-π/2；x=m时sinu=m+1，u=arcsin(m+1)；
故原式=[-π/2，arcsin(m+1)]∫[√(1-sin²u)]cosudu=[-π/2，arcsin(m+1)]∫cos²udu
=[-π/2，arcsin(m+1)]∫[(1+cos2u)/2]du=[-π/2，arcsin(m+1)](1/2)[∫du+(1/2)∫cos2ud(2u)]
=(1/2)[u+(1/2)sin2u]∣[-π/2，arcsin(m+1)]
=[(1/2)u+(1/2)sinucosu]∣[-π/2，arcsin(m+1)]
=(1/2)arcsin(m+1)+(1/2)sin[arcsin(m+1)]cos[arcsin(m+1)]+π/4=π/4
故得(1/2)arcsin(m+1)+(1/2)sin[arcsin(m+1)]cos[arcsin(m+1)]
=(1/2)arcsin(m+1)+(1/2)(m+1)√[1-(m+1)²]
=(1/2)arcsin(m+1)+(1/2)(m+1)√(-m²-2m)=0
即有arcsin(m+1)+(m+1)√(-m²-2m)=0
故m=-1。