高等数学中等价无穷小什么时候才能用？

Question

比如说一个函数是y＝x/tanx,为什么当x趋近于0时，根据等价无穷小性质可得上式极限为x/x＝1，而当x趋近于k∏时（k不等于0），极限就是无穷，当x趋近于k∏ ∏/2时，极限就又是0了

这个题为什么不能一直用等价无穷小的性质，各种情况都将tanx变为x，得极限为1？所以说什么时候才能用等价无穷小替换？

Answer 1

lim<x→0>(x/tanx)=1，此时x和tanx都是无穷小量，故可以等价无穷小替换

lim<x→kπ>(x/tanx)=∞，此时x是一个常数，而tanx是个无穷小量，不能等价替换（因为已经可以得出结论了），常数除以无穷小，所以等于无穷大

lim<x→kπ+π/2>(x/tanx)=0，此时x为一个常数，tanx是无穷大，也不可等价替换，等于无穷小
总的来说，等价无穷小替换是计算未定式时用的，而第二种情况下不是未定式，第三种tanx不是无穷小。

Answer 2

高等数学问题，求极限中等价无穷小替换为什么只能用于乘除不能用于加减，求解答
加减也是可以的，但必须真正的等价无穷小，才能代换
比如
x-2sinx~(x-2x)=-x
而
x-sinx不等价于x-x=0
事实上等价于
x-sinx~x³/3!