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设函数f（x）=（x-a）ex+（a-1）x+a，a∈R．（1）当a=1时，求f（x）的单调区间；（2）设g（x）是f（x）的导函数，证明：当a＞2时，在（0，+∞）上恰有一个x0使得g（x0）=0．

推荐答案推荐于2016-09-16

解答：（1）解：当a=1时，f（x）=（x-1）e^x+1，f'（x）=xe^x，
当f'（x）＜0时，x＜0；当f'（x）＞0时，x＞0，
∴函数f（x）的减区间是（-∞，0）；增区间是（0，+∞），
（2）证明：g（x）=f'（x）=e^x（x-a+1）+（a-1），
∴g'（x）=e^x（x-a+2），
当g'（x）＜0时，x＜a-2；当g'（x）＞0时，x＞a-2
∵a＞2，
∴函数g（x）在（0，a-2）上递减；在（a-2，+∞）上递增，
又∵g（0）=0，g（a）=e^a+a-1＞0，
∴在（0，+∞）上恰有一个x₀使得g（x₀）=0．

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