已知函数f(x)=lnx

Question

当0<a<b时求证函数f(x)定义在区间[a,b]上的值域的长度大于2a(b-a)/(a^2+b^2)（闭区间[a,b]的长度就是b-a）

Answer 1

直接用拉格朗日中定理
必定存在一个值c∈[a,b]
使得f'(c)=(f(b)-f(a))/(b-a)
f'(c)=1/c
c∈[a,b]
1/c>1/b
所以(f(b)-f(a))/(b-a)>1/b
由于2a/(a^2+b^2)<2a/2ab=1/b
所以(f(b)-f(a))/(b-a)>2a/(a^2+b^2)

Answer 2

f(x)单调递增
长度为f(b)-f(a)=lnb-lna=ln(b/a)
2a(b-a)/(a^2+b^2)≤2a(b-a)/2ab=(b-a)/b=1-a/b
设b/a=t,令M(t)=lnt - (1-1/t)
M'(t)=1/t-1/t^2
即t>1，M’(t)>0，所以单调递增，
即ln(b/a)-(1-a/b)>0
ok~