泰勒公式 证明

Question

泰勒中值定理是说函数f(x)等于n次多项式Pn(x)（就是f(x)的n阶泰勒公式）与Rn(x)（f(x)的n阶泰勒公式的余项）的和，余项具有形式[f<n+1>(ξ)*(x-x0)^(n+1)]/[(n+1)!]，所以需要证明的就是Rn(x)=[f<n+1>(ξ)*(x-x0)^(n+1)]/[(n+1)!]. ！！！！ 为什么只需要证明Rn啊 ？？？！！！

Answer 1

书上的表达方式有很多同学不能理解。
要证明式子 f(x)= Pn(x) + [f<n+1>(ξ)*(x-x0)^(n+1)]/[(n+1)!]，
只要证明 f(x)- Pn(x) = [f<n+1>(ξ)*(x-x0)^(n+1)]/[(n+1)!]，
现在我们引入记号 Rn(x) = f(x)- Pn(x)
这样只要证明 Rn(x) = [f<n+1>(ξ)*(x-x0)^(n+1)]/[(n+1)!]，
从而只要证 Rn(x) / [(x-x0)^(n+1)]= [f<n+1>(ξ)] / [(n+1)!]，
后面就是对左边两个函数应用Cauchy中值定理证明了。

Answer 2

因为Rn是无穷小
就是说两个涵数的距离可以很小