高数积分问题 如图画线部分为什么？

Question

如题所述

Answer 1

这是运用了导数的乘法运算法则及复合函数的链式求导法则，变量y是变量x(中间变量)的函数，变量x是自变量t的函数，因此y，dy/dx都通过中间变量x与自变量t构成复合函数，通过复合函数的链式求导法则，得到求d²y/dt²的过程如下图所示:

Answer 2

利用乘积的求导法则
d/dt（costdy/dx）
=-sintdy/dx+costd/dt（dy/dx）
d/dt（dy/dx）=（d²y/dx²）/dt/dx
=（d²y/dx²）（dx/dt）
=cost（d²y/dx²）.

Answer 3

已知 y=y(x)，x=sint；
dy/dt=(dy/dx)(dx/dt)=(dy/dx)cost=y'cost；其中，y'=dy/dx; 注意y'是x的函数。
d²y/dt²=d(dy/dt)/dt=d(y'cost)/dt=costdy'/dt+y'd(cost)/dt
=cost(dy'/dx)(dx/dt)-y'sint=cost(d²y/dx²)(dx/dt)-(dy/dx)sint

=cos²t(d²y/dx²)-(dy/dx)sint=(1-sin²t)(d²y/dx²)-(dy/dx)sint
=(1-x²)(d²y/dx²)-x(dy/dx);
其中，dy'/dx就是y对x的二阶导数，故dy'/dx=d(dy/dx)/dx=d²x/dx²;