极值点不必连续，而拐点必须连续吗？

Question

函数f(x)在一点a处取极值，f(x)可以在点a处不连续吗？
若在另一点b处为拐点，f(x)可以在点b处不连续吗？
比如下图的函数中，f(0)是否为极值点呢

Answer 1

函数f(x)在一点a处取极值，f(x)可以在点a处可以不连续，是否是极值点与是否连续，没有关系。判断某点是否是极值点，就根据极值点的定义来判断。

在某点的左右f''（x）的正负发生变化的点，f''（某点）可以为零或者不存在。所以拐点与否也与在该点是否连续无关。

扩展资料：

一、极值点与稳定点

方程f'(x)=0的解x0，即f'(x0)称为函数f(x)的稳定点

注：定义不要求函数f(x)可导，所以可导函数f(x)的极值点必须是稳定点，但稳定点不一定是极值点。

二、拐点的求法

可以按下列步骤来判断区间I上的连续曲线y=f(x)的拐点：

⑴求f''(x)。

⑵令f''(x)=0，解出此方程在区间I内的实根，并求出在区间I内f''(x)不存在的点。

⑶对于⑵中求出的每一个实根或二阶导数不存在的点x0，检查f''(x)在x0左右两侧邻近的符号，那么当两侧的符号相反时，点(x0,f(x0))是拐点，当两侧的符号相同时，点(x0,f(x0))不是拐点。

参考资料来源：百度百科－极值点

参考资料来源：百度百科－拐点

Answer 2

函数f(x)在一点a处取极值，f(x)可以在点a处不连续吗？ 答：是的，是否是极值点与是否连续，没有关系。判断某点是否是极值点，就根据极值点的定义来判断。

若在另一点b处为拐点，f(x)可以在点b处不连续吗？ 答：在某点的左右f''（x）的正负发生变化的点，f''（某点）可以为零或者不存在。所以拐点与否也与在该点是否连续无关！

你图中所给的那个点根据极值点的定义判断，是极值点（极小值点）追问

第一个问题表示赞成，可是第二个问题，若在另一点b处为拐点，f(x)可以在点b处不连续吗？
我查到拐点的定义有很多，有的说【连续曲线】凹凸的分界点为拐点，也有不要求连续的。但是函数的凹凸性定义是以开区间内连续为前提的，那么拐点在开区间内岂不一定连续？

追答

不好意思，第二个问题我确实错了，函数连续这一点我的确疏忽了！我翻阅了同济第五版的高等数学关于拐点的定义，首要条件就是：开区间上连续，且必须为内点！谢谢您的纠正！

本回答被提问者和网友采纳

Answer 3

首先给出极值在大学教材中的定义：极值是一个函数的极大值或极小值。如果一个函数在一点的一个邻域内处处都有确定的值，而以该点处的值为最大（小），这函数在该点处的值就是一个极大（小）值。
其中定义中给出的“一个邻域内处处都有确定的值”就表示这个函数在极值附近必须连续。追问

“处处都有确定的值”就表示连续吗

追答

相当于在以极值点为圆心画一个极小的圆，该区域内各处都有确定的值，即连续。

追问

“有确定的值”相当于“有定义”，“有定义”不一定连续