求数学达人计算数列问题~~~求公式

Question

数学好久了，忘掉差不多了。很简单的一个数列问题

比如3（2）5（5）10（8）18（11）29……这样括号里的是d差，d差呈等差数列递增，然后第N个数是多少？Sn（所有的和）等于多少？

a1=1255,第一个d1是122，d2是202，d3是282……求S20,S25,S30.
还有a20,a25,a30
1L的我不要等差的公式，2L的答案错了，3L求公式~~~~

其实这个问题本来更复杂点的。原始数列排列如下
1255（122）1377（202）1579（284）1863（364）2227（446）2673（526）3199（608）3807……d的公差隔一下80，隔一下82的~~~我怕太复杂了没人回答，就先问下简单的~~~3L如果可以顺便解下这个原始的啊？

如果能解（要公式和a20以及S20具体数字，推算过程写的下最好也写上哈）再加30分~~~

3L说那天下午要来，坐等好多天了~~~

Answer 1

1、这个数列的前后两项的差构成等差数列，即an－a(n－1)=3n－1，则：
a2－a1=2
a3－a2=5
a4－a3=8
……
an－a(n－1)=3n－1。将上面的等式相加(称为数列求通项的累加法)，得：
an－a1=2＋5＋8＋…＋(3n－1)=[(n－1)(3n＋1)]/2，所以an=[(n－1)(3n＋1)]/2＋2。
2、和第一题的思想方法是一样的，只是更为具体的数值计算而已。
3、有上面累加的方法在其中，只是由于奇数项而后偶数项的不一样，需要分n是偶数和n是奇数讨论的。①n是偶数，在公差为80和82的项各占一半，都是n/2项；②n是奇数，则其中公差为80的n＋1项，公差为82的有n项。
注：这三个题是求数列通项公式的累加(相邻两项差是等差)，与此相仿，若商是有特点的数列(等差或等比)，则可以采用刚才的列举法，累乘就得到了。

Answer 2

an=a1+(n-1)d
Sn=(a1+an)*n/2=na1+n(n-1)d

Answer 3

dn=d1+(n-1)(d2-d1)=80n+42
a(n+1)-an=dn
设dn的前n项和Tn＝n(d1+dn)/2=40n^2+21n
a(n+1)-a1=Tn
a(n+1)=Tn+a1=40n^2+21n+1255
=40[(n+1)-1]^2+21[(n+1)-1]+1255
an=40(n-1)^2+21(n-1)+1255
=40n^2-59n+1274
a20=16075
a25=24799
a30=35504
Sn=40(1^2+2^2+3^2+ +n^2)-59(1+2+3+ +n)+1274n

前面算错了Tn
重来：Tn＝40n^2+82n
a(n+1)-a1=Tn
a(n+1)=Tn+a1=40n^2+82n+1255
an=40(n-1)^2+82(n-1)+1255
=40n^2＋2n+1213
a20=40×400＋40＋1213＝17253
a25=40×25×25＋50＋1213＝26263
a30=40×900＋60＋1213＝37273
Sn=40(1^2+2^2+3^2+ +n^2)＋2(1+2+3+ +n)+1213n
＝40×n(n+1)(2n+1)/6＋n(n＋1)＋1213n
＝20×n(n+1)(2n+1)/3＋n(n＋1)＋1213n
自己合并吧
S20＝20×20×21×41/3＋20×21＋1213×20
＝114800＋420＋24260
＝139480
S25=20×25×26×51/3＋25×26＋1213×25
＝221000＋650＋30325
＝25772375
S30=20×30×31×61/3＋30×31＋1213×30
＝378200＋930＋36390
＝415520
哥们你自己验算下啊

Answer 4

第1个：3
第2个：3+2
第3个：3+2+5
第4个：3+2+5+8
……
第n个：3+2+5+8+……+(3n-4)=3+[2(n-1)+3(n-1)(n-2)/2]=3(n^2)/2-5n/2+4
计算Sn需要1^2+2^2+3^2+……+n^2=n(n+1)(2n+1)/6。
下面的问题，可仿此求解。
答案是---
a20=17253，a25=26263，a30=39635
S20=139480，S25=251975，S30=415520追问

你的答案很简洁明了~~~答案也是对的~~~只是可以给个公式吗？不要具体数字~~~比如第一个数3就用a1替代。公差d的等差数列的公差用D替代。an=? Sn=?

还有我想知道这个叫做什么数列？我记得好像学过。貌似有名字的？

我刚开始是这么想的，把公差D看作等差数列，并把这个等差数列的前N项和设为Mn，那么Sn=a1*n+（M1+M2+M3+……+Mn）

不知道有没错，只是我忘记了这个M1+M2+……+Mn（设为Tn）怎么求了。

追答

这种数列叫二阶等差数列。公式推导下午给你，上午有课。

Answer 5

这些问题都可以归结为一类问题，叫做n阶差分问题。其实很简单，最笨的方法具有n阶差分的数列可以用n次多项式待定系数求解。如果比较牛叉的话，那就用插值公式做吧