求数学达人

Question

已知数列An，Bn的通项an，bn满足关系bn=2^an，且数列An的前n项和Sn=n^2-2n（n∈N），求数列Bn的前n项和Tn。谢谢

Answer 1

Sn = n^2 - 2n
S(n-1) = (n-1)^2 - 2(n-1)
Sn - S(n-1) = n^2 - 2n - (n-1)^2 + 2(n-1)
an= 2n-3
bn = 2^an = 2^(2n -3)
易知bn为等比数列，公比：
q = bn / b(n-1) = 2^(2n-3)/2^[2(n-1)-3] = 4

Tn = b1(1 - q^n)/(1-q)
= 1/2(1 - 4^n)/ -3
= (4^n - 1)/6

Answer 2

a1=1/4，an+bn=1，b(n+1)=bn/(1-an^2)
b1=1-1/4=3/4
1.
b(n+1)=bn/(1-an^2)
bn/b(n+1)=1-an^2=1-(1-bn)^2=2bn-bn^2
1/b(n+1)=2-bn
1/b(n+1)-1=1-bn
[b(n+1)-1]/b(n+1)=bn-1
b(n+1)/[b(n+1)-1]=1/(bn-1)
b(n+1)/[b(n+1)-1]-1=1/(bn-1)-1
1/[b(n+1)-1]=1/(bn-1)-1
1/[b(n+1)-1]-1/(bn-1)=-1
所以1/(bn-1)是首项为1/(b1-1)=-4，公差为-1的等差数列。2
由上可得1/(bn-1)=-4-(n-1)=-n-3
bn=-1/(n+3)+1=(n+2)/(n+3)
an=1-bn=1/(n+3)
Sn=a1a2+a2a3+a3a4+…+ana(n+1)
=(1/4)(1/5)+(1/5)(1/6)+(1/6)(1/7)+…[1/(n+2)][1/(n+3)]+[1/(n+3)][1/(n+4)]
=(1/4-1/5)+(1/5-1/6)+(1/6-1/7)+…[1/(n+2)-1/(n+3)]+[1/(n+3)-1/(n+4)]
=1/4-1/(n+4)
又4aSn＜bn
4a[1/4-1/(n+4)]＜(n+2)/(n+3)
(n+3)a[(n+4)-4]＜(n+2)(n+4)
(a-1)n^2+(3a-6)n-8＜0
若a-1＞0，则y=(a-1)n^2+(3a-6)n-8为开口向上的抛物线，总存在n使(a-1)n^2+(3a-6)n-8＞0，所以不符合题意；
若a-1＜0，则y=(a-1)n^2+(3a-6)n-8为开口向下的抛物线，只要△＜0即可，所以
(3a-6)^2+32(a-1)=9a^2-4a+4＜0,这样的a不存在；
若a-1=0，则y=(a-1)n^2+(3a-6)n-8=-3n-8＜0恒成立；
综上所述a=1.