解绝对值不等式时，有几种常见的方法

Question

如题所述

Answer 1

一、
绝对值定义法
对于一些简单的，一侧为常数的含不等式绝对值，直接用绝对值定义即可，
1、如|x|
<
a在数轴上表示出来。利用数轴可将解集表示为−a<
x
<
a
2、|x|
≥
a同理可在数轴上表示出来，因此可得到解集为x≥
a或x≤
a
3、|ax
+b|
≥
c型，利用绝对值性质化为不等式组−c
≤
ax
+
b
≤
c，再解不等式组。
二、平方法
对于不等式两边都是绝对值时，可将不等式两边同时平方。
解不等式
|x+
3|
>
|x−
1|将等式两边同时平方为(x
+
3)2
>
(x
−
1)2得到x2
+
6x
+
9
>
x2
−
2x
+
1之后解不等式即可，解得x
>
−1
三、零点分段法
对于不等式中含有有两个及以上绝对值，且含有常数项时，一般使用零点分段法。例
解不等式|x
+
1|
+
|x
−
3|
>
5
在数轴上可以看出，数轴可以分成x
<
−1,−1
≤
x
<
3,
x
≥
3三个区间，由此进行分类讨论。
当x
<
−1时，因为x
+
1
<
0,
x
−
3
<
0所以不等式化为
−x−
1
−x
+
3
>
5解得x
<
−322．当−1
≤x
<
3时，
因为x
+
1
>
0,x−
3
<
0所以不等式化为x
+
1
−
x
+
3
>
5无解。
当
x
≥
3时
因为x
+
1
>
0
,x
−
3
>
0所以不等式化为x
+
1
+
x−
3
>
5解得x
>72综上所述，不等式的解为x
<
−32或x
>72。
扩展资料
1、实数的绝对值的概念
(1)|a|的几何意义
|a|表示数轴上实数a对应的点与原点之间的距离.
(2)两个重要性质
①(ⅰ)|ab|=|a||b|
②|a|<|b|⇔a2<b2
(3)|x-a|的几何意义:数轴上实数x对应的点与实数a对应的点之间的距离,或数轴上表示x-a的点到原点的距离.
(4)|x+a|的几何意义:数轴上实数x对应的点与实数-a对应的点之间的距离,或数轴上表示x+a的点到原点的距离。
2、绝对值不等式定理
(1)定理：对任意实数a和b,有|a+b|≤|a|+|b|,当且仅当ab≥0时,等号成立.
(2)定理的另一种形式：对任意实数a和b,有|a-b|≤|a|+|b|,当且仅当ab≤0时,等号成立.
绝对值不等式定理的完整形式：|a|-|b|≤|a±b|≤|a|+|b|.
其中,(1)|a+b|=|a|-|b|成立的条件是ab≤0,且|a|≥|b|;
(2)|a+b|=|a|+|b|成立的条件是ab≥0;
(3)|a-b|=|a|-|b|成立的条件是ab≥0,且|a|≥|b|;
(4)|a-b|=|a|+|b|成立的条件是ab≤0.

Answer 2

绝对值不等式解法的基本思路是：去掉绝对值符号，把它转化为一般的不等式求解，转化的方法一般有：（1）绝对值定义法；（2）平方法；（3）零点区域法。