数学达人进！有个二次型我怎么也搞不懂为什么是“不定”

Question

此题如下：
F(x.y)=xy，判断这是正定、负定、还是不定？
我的做题思路是这样的：
先算出海塞矩阵 f11=0， f12=1， f21=1， f22=0
组成的矩阵就是： 0 1
1 0
然后判断顺序主子式：一阶顺序主子式为0
得到这个就应该直接开始判断主子式了，因为它不可能是正定、负定或者不定了，只能是正半定或者是负半定。

一阶主子式为0和-1，二阶主子式为-1，因为这个情况既不属于正半定也不属于负半定，所以我觉得这道题就僵着了，可是答案是“此题为不定”，我不明白为什么。。。
不是说“不定”的概念是：顺序主子式不为零且又不是正定也不是负定。
可是这道题的顺序主子式从一开始就是0啊，这是怎么回事。。。。要怎么判断啊？

Answer 1

0 1
1 0
的特征值是: 1和 -1
所以其标准形 是 y1^2 - y2^2
所以是不定.

F(x.y)=xy 的矩阵应该是
0 1/2
1/2 0
不过它的特征值也是一正一负

Answer 2

01
10

的特征值是: 1和 -1
所以其标准形 是 y1^2 - y2^2
所以是不定.

F(x.y)=xy 的矩阵应该是
0 1/2
1/2 0
不过它的特征值也是一正一负

0 1
1 0
的特征值是: 1和 -1
所以其标准形 是 y1^2 - y2^2
所以是不定.

F(x.y)=xy 的矩阵应该是
0 1/2
1/2 0
不过它的特征值也是一正一负