请教达人一个线性代数问题，关于对角化的

Question

一个对角矩阵要把它对角化，为什么就是把他们对应的特征向量求出来正交化或和规范化后得到Q=（r1,r2,....rn）, 然后有Q’AQ=（对角线上全是特征向量的矩阵），我真搞不懂为什么要正交化或和规范化后这样做才使右边就会化为对角线上全是特征向量的矩阵，感觉学这些知识只知道做题，不懂原理，求大神帮助理解

Answer 1

不是对角矩阵，是对称阵。
学线性代数，乃至一切数学知识，除了熟练掌握各种代数形式的变化技术之外，更要理解代数形式背后所代表的意义，精于数学的人还能掌握代数形式变化过程所蕴含的意义。
线性代数要结合空间坐标系来学。理解了向量、矩阵、行列式在变化过程中的图像意义，各章中的好多定理其实就是一回事。
对于这个问题，还得要理解对角化的概念和数学意义。矩阵（尤其是方阵），可以看作线性变换的一个参数，叫做线性变换矩阵。对于对称阵，对角化能将这个特殊的线性变换分解三个有着简单含义的线性变换：正交阵代表正交变换（不会改变形状、大小，是全等变换，原点不动，只改变坐标系的方向），对角阵代表伸缩变换（正交的几个方向上的伸缩），再一个Q‘变回原来的方向。AQ=QΛ=ΛQ就很清楚了。Q的列向量就是所要求的模为1的特征向量。当然，列向量的排列次序是不唯一的。
但A这个线性变换却是唯一的。因为用它对任意一个向量进行线性变换Ax，可以把这个向量x先表示成Q中列向量的线性组合Qy，那么这个变换就相当于先对Q进行线性变换，然后将变换结果进行线性组合AQy，即Ax。说笑了，A是已知的，当然是唯一的。

Answer 2

为什么要对角化呢应为对角每一个矩阵都对应着一个线性方程组，我们的目的是求方程组的解，化成对角阵形式那解不是很清楚就看出来了吗？至于你说的为什么这么求这是应为，我们所做的一切就是矩阵变换，而可逆线性变换在变换时候不改变起所对应的方程的解，正交变换是可逆线性变换的一种特殊情况，变换阵可以有很多，我们通过特征值和特征向量来求变换阵是基于公式Ax=bx，（x是特征向量b是特征值） 变形得：x‘Ax=b 而Q是特征向量组成 所以Q’AQ=B B为特征值得对角阵。真是人们找到的手工计算最简单最快的一种方法了。呵呵以前学习的时候我也有一样的疑惑呵呵亲切啊 ，你这里的Q不就是r1,r2,....rn的组合吗追问

弱弱的问一下，“ 而Q是特征向量组成 所以Q’AQ（这里Q’是Q的转置啊！）=B B为特征值得对角阵”，这句话的原因还是没看懂啊，前面的“Ax=bx，（x是特征向量b是特征值） 变形得：x‘Ax=b（这里x‘是x的逆阵吧？）”，这个我知道。但是这两者有联系么？没看明白，求再点拨一下，还有，什么叫“对角每一个矩阵都对应着一个线性方程组”？每一个普通矩阵不都能对应么？为什么一定要对角？

追答

应为在正交变换下 Q的逆就等于Q的转置啊 这就是所以要你正交化的原因 是不是啊 ？应为你用的正交阵了所以 Q的逆就等于Q的转置 普通的矩阵也能对应其次线性方程组 ，也可以通过相应的变形让他形式变好看，不过现在你不在是研究对称阵吗？ 线性代数中是对称阵一定能对角化的。

追问

哦，是的，正交变换下 Q的逆就等于Q的转置。但是还有一个地方不明白，x‘Ax=b中的x是列向量，而Q’AQ=B中的Q又不是个列向量？难道是把x换成Q？

追答

Q不就是很多x组成的吗？
你看书上Q的选取啊 就是几个线性无关特征向量组成啊

追问

我知道啊，但是x是单个啊，Q不是组合了么？那你怎么知道Q’AQ=对角阵啊?

追答

X是单个的 Q是组合 单个的X 在 x‘Ax=b b是特征值 是一个常数 你可以假设Q有三个线性无关向量组成X1 X2 X3 且他们为列向量 则x1‘Ax1=b1 x2‘Ax2=b2 x3‘Ax3=b3 成立 那将X1 X2 X3 组成Q阵时Q‘AQ=B 你只要作下计算能得出这里的B啦 而且B是对角阵 对角线元素就是b1 b2 b3 你可以直接用含参数的Q放进去乘出来

Answer 3

只知道做题，不懂得原理，是因为你没有遇到好的老师，学的线性代数教材太烂了。真正好的老师，会从几何的角度来给你解释为啥会有这些东西。画一个个直观的图形来告诉你，一个矩阵，对应着一个球的旋转和运动，如果用一个钉子把这个球订在空间中某个点，球就只能沿着以钉子为轴的方向旋转。
你可以想象你是球上的一个点，你本来可以在3维空间中自由运动，现在被限制住了，只能在2维平面上运动。那么如果是运动对应了一个矩阵的话，那么有一个维度就变没了，或者说它的特征值为0.

再举一个例子。比如一个手电筒照在桌子上，光圈是一个圆，手电筒稍微倾斜一点，得到一个椭圆，你再倾斜一点，椭圆越变越长，最后这个光圈都出了桌子，这个时候你得到了抛物线，和双曲线。如果把你这个光圈的曲线看做是二次型矩阵的话，那么椭圆就是矩阵特征值为正，抛物线就是矩阵特征值为0，抛物线就是矩阵特征值为一正一负。

类似的列子还有好多，只要你愿意多看书，就不难理解。本回答被网友采纳

Answer 4

其实吧，线代没有你所看到的这么简单。
我是研究物理的，我举个例子。牛顿运动定律；牛顿在研究运动定律的时候推导第二定律F=ma的时候，用的并不是F，或者牛顿力，因为他自己研究的时候还没有这个概念，是他总结出来的后人才称呼f为力，单位牛顿。事实上他用的是动量与冲量进行的公式推导，而这里面还涉及到微积分的雏形，我们知道a代表加速度，他本身就是一个倒数量，或者说微分。
好吧我说的太乱，简单地说，我们在书本上学习到的内容是之前四五百年内顶尖科学家的研究成果。线代如此，高数也是一样，微积分创立于17世纪，当时这个理论相当于现在物理领域的弦理论，没几个人看得懂。被提炼成现成的工具之后现在就可以教给本科生，试问当我们去背那些莱布尼茨、拉格朗日的时候，谁回去关心它最初是怎么推导出来的。当然这也是应试教育的悲哀之处。
最后我想说的是，关于线性代数，在考完这门课之后，唯一的作用就是考研可能还要考，在之后这辈子基本上也不会在遇到他了