ABx=0与Bx=0有完全相同的解，即有完全相同的基础解系，而AB与B的r = n - 基础解系的个数。所以r(AB)=r(B)。
由Bx=0，可知方程组的一个基础解系，不妨设为b个。
因Bx=0，所以这b个线形无关的解满足ABx=0，而AB的r与B的r相同为b，所以它也是AB的基础解系，所以ABx=0与Bx=0有完全相同的解。
扩展资料：
基础解系和通解的关系
对于一个方程组，有无穷多组的解来说，最基础的，不用乘系数的那组方程的解，如（1，2，3）和（2，4，6）及（3，6，9）以及（4，8，12）......等均符合方程的解，则系数K为1，2，3，4.....等，因此（1，2，3）就为方程组的基础解系。
A是n阶实对称矩阵，
假如r(A)=1.则它的特征值为t1=a11+a22+...+ann,t2=t3=...tn=0；对应于t1的特征向量为b1，t2~tn的分别为b2~bn
此时，Ax=0的解就是k2b2+k3b3+...+knbn；其中ki不全为零。由于:Ax=0Ax=0*B,B为A的特征向量，对应一个特征值的特征向量写成通解的形式是乘上ki并加到一起。这是基础解系和通解的关系。