极限函数的定义是当函数f(x)在点x。的邻域内有定义时，如果存在一个常数A，对于任意给定的正数ε，无论其大小如何，总能找到一个正数δ，使得当x满足0<|x-x。|<δ时，函数值f(x)与A的差的绝对值小于ε。这个A就被称为函数f(x)在x→x。时的极限。
通俗地说，如果函数y=f(x)在x趋于正无穷时，其值无限接近一个确定的常数A，我们称A为函数的极限，并记作lim f(x)=A，x→+∞。同样，当x在点a附近无限接近a时，如果函数值趋向一个确定的A，那么A是函数f(x)在x→a时的极限。
函数的左右极限分别指从x0两侧趋近的情况，左极限记作x→x0-limf(x)=a，右极限记作x→x0+limf(x)=a。若左右极限不一致，函数在x0处不存在极限。
极限与函数在某点是否定义无关，只要该点附近有定义即可。两个重要的极限例子包括当x趋近于0时，sin(x)/x的极限为1，以及(1 + x)^1/x趋近于e，而x→∞时，(1 + 1/x)^x和(1 + 1/x)^(1/x)分别趋近于e和1。
关于运算法则，如果lim f(x)和lim g(x)存在，且lim f(x) = A, lim g(x) = B，那么加减运算有lim (f(x) ± g(x)) = A ± B，数乘有lim (c* f(x)) = c * A（c为常数）。非线性运算如乘除，lim (f(x) * g(x)) = A * B，lim (f(x) / g(x)) = A / B (B≠0)。对于幂运算，lim (f(x))^n = A^n。
极限是微积分中的基础概念，它指的是变量在一定的变化过程中，从总的来说逐渐稳定的这样一种变化趋势以及所趋向的数值（极限值）。极限的概念最终由柯西和魏尔斯特拉斯等人严格阐述。在现代的数学分析教科书中，几乎所有基本概念（连续、微分、积分）都是建立在极限概念的基础之上。